在矢量场中，一个给定点 M处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
l
A dl
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示 ro A t A
在直角坐标系中的表示
ex ey ez A
x y z Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re rsine
A
r2
1
sin
r
Ar rA rsinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C0 (C 为常 ) 矢量
(cA )c A
( A B ) A B
( u A ) u A u A
( A B ) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
ex
roAt A
x
ey
ez
y
z
x(zy) y(xz) z(yx)
( z y ) e x ( x z ) e y ( y x ) e z 在点M(1，0，1 )处 的A 旋度M e x2 e ye z
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex
ey
ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
4q0 yrz3zry3e x
zrx3xrz3ey
xry3yrx3ez
0
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
1、矢量场的环量
矢量场 A(r) 沿场中的一条闭合路径 l的曲线积分称为矢量场
A(r) 沿闭合路径 l的环量。
SnS
Adl
l
P A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。 2、环量面密度
Adl
rontAlSi m0பைடு நூலகம்l S
n方向的单位矢量
n 2 2 1 6 2 3 2(2 e x 6 e y 3 e z) 7 2 e x 7 6 e y 7 3 e z
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A Mn7 27 627 31 77
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E 4 q r3 r 4 q r3 (xe xy e yze z)
换关系。
AdSAdl
S
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。