平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
B1
A1
D1 C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设 则CC：1 1 A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
9
4Z
0
2
Z 9 ,Q BB` 平面AOB 8
POB为OP与底面AOB所成的角, POB=arctan
3 8
.
B1
例2 : (2002年上海春季高考题)如图:
Z
三棱柱OAB-O1 A1B1 , 平面OBB1O1 O1OB 600, AOB 900,且OB
平面OAB,A1 OO1 2,
O1
A1
O
A
BY
uuur uuuur A1B与AO1所成的角为arccos
1 7
.
X
返回
三、 用向量法求二面角的大小
如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为 n1 ， 平面β的法向量为 n2 ， n1,n2 ，则二面
角α-l-β为 或 。
n1 n2
l
n1
n2
l
例2. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD
x
xy
2 y z
令 y 1,则n (2,1,1) ， 由图可知，平面CBD 的法向量为
D 1
D
(0,0,1)，设二面角
E
BD
C
的平面角为
，
cos cos n, D D
DD 1
•
n
1
6
1
DDn 6 6
1
2
sin
1
6 6
5 6
tan 5
练习：在直三棱柱 ABC A B C 中，
111
o
x
2.向量的直角坐标运算
z
r
r
设a rr
(a1
,
a2
,
a3
),
b
(b1
,
b2
,
b3
)
k ioj
r a
a r
b r
(a1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
y
a
r
b
(a1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
x
r
a
r
(
a1
,
a2
,
a3
)(
R)
a r
•பைடு நூலகம்
b r
a1b1
a2b2
a3b3
a r
||
b r
a1
b1, a2
b2 , a3
3
3、利用法向量求二面角的平面角；
设 l 的二面角为 ，
n m 与 是指向二面角外侧与内侧
的这两个平面的法向量，由图可知：
n, m
结论：二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两 个平面的法向量所成的角。即：
m （ n 与 的指向不同）
cos cos n, m n • m
n•m
例3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB 2,BC BB1 1,
OA 3.求:(1)二面角O1 AB O的大小; (2)异面直线A1B与AO1所成角的大小.
A X
O
B
Y
解: (1)以O为原点,分别以OA,OB所在的直线为x, y轴,
过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴,建立空间直角
坐标系.如图所示.则O(0, 0, uuuur
0),
O1
(0,1,
3), A( uuur
BE 与平面 B1BD 所成的角。
解：建立空间直角坐标系，设正方体的棱长1，则：
B(1,1,0)
B1(1,1,1)
z
1
E(0,1, )
2
DB (1,1,0)
DB1 (1,1,1)
BE (1,0, 1)
y
2
x
设平面 B1BD 的法向量为 n (x, y, z)
n DB, n DB1
n n
O`
棱BB`上的一点,D为A`B`中点,若OP BD, B` D
A`
求OP与底面AOB所成角的大小.
P
解:建立如图的空间直角坐标系,
O
由题意B(3,0,0),D(
3 2
,
2,
4),
设P(3,
0,
zB)
A
uur 则BD
3 (2
,
2,
uuur 4).OP
(3,
0,
Z
)
X
Y
Q
uur BD
uuur uur uuur OP, BD • OP
• •
DB 0 DB1 0
x x
y y
0 z
0
x z
0
y
令 x 1,则n (1,1,0)，设 AB与平面 所成的角为
，则：
n • BE
sin
10
n BE 5
arcsin 10
5
练习：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求 BC1 与平面
A1BD所成的角的余弦值。 ( 3 )
r a
二、用向量处理角的问题
1.线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1
B
uuur uuur
CD, AB 与的关系？
uuur uuur
DC, AB 与的关系？
结论：
cos
uuur uuur
|cos CD, AB |
1、线线角
例1： RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着
E为
DC 11
的中点，求二面角
E
BD
C
的正切值。
解：建立空间直角坐标系 D xyz ，则： z
B(1,2,0) C(0,2,0)
E(0,1,1)
DB (1,2,0)
DE (0,1,1)
设平面 EDB 法向量为
y
n (x, y, z)，则：
n n
• •
DB DE
0 0
x
y
2 z
y0 0
b3
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
3.夹角和距离公式 r
r
设 : a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3),则
r rr
Z
| a | a • a a12 a22 a33 ,
A
r rr
| b |
b•b
r
b11r b22
b33 ,
k ij
O
B
rr cosa,b
二
面
角
O1
AB
O的
大
小
为
arccos
2. 4
(2)u设uur异面直线A1B与AuOu1u所r 成uu的ur 角u为uuur ,
Z
则A1B ( 3,1, 3),O1A OA OO1
O1
B1
( 3, 1, 3) uuur uuur
COS uAu1uBr • Ouu1uAr 1
| A1B• | O1A | 7
|
A
x
1 1 4 53
30 10
By
42
30
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
10
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 B1 M
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
A1
D1 C
所以： cos
uuur AF1
uuuur BD1
uuur
( 1 , 2
(1 ,
uu2uur
0,1),
1 ,1) 2
AF1, BD1 |
uuur uuuur uAuuFr1gBuuDu1ur AF1 || BD1
3.二面角： ur uur
cos | cos nur1,unur2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1
B
Ar
n
B O
uur
n2
ur n1
例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-A`B`O`中Z ,
OO`=4,OA=4,OB=3,AOB=900, P是侧
3, 0, 0)
A1( 3,1 3), B(0,2,0), AO1 ( 3,1, 3), AB ( 3,2,0)
uuur
ur
显
然
O
Z为
平
面
AO
B的
法
向 uur
量
取
n1
(0, 0,1).
设
平 uur
面uuOu1urA B的
法 uur
向量 uuur
为
n2
(x,
y, z).
则 n2 • AO1 0,n2 • AB 0.
ra •br
Y
|a|•|b|
设 : A (x1, y2, z3); B (x2, y2, z3)
X
uuuur
则:| AB | (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2