图8-7 黑体系统的 辐射换热
2 漫灰表面
灰体间的多次反射给辐射换热的计算带来 麻烦，此时需要采用前面讲过的投入辐射G和 有效辐射J的概念。下面在假设表面物性和温 度已知的情况下，考察J与表面净辐射换热量 之间的关系，为计算漫灰表面间的辐射换热作 准备。如图9-1所示，对表面1来讲，净辐射换 热量q为
Eb
J1
1
A
图9-9 表面辐射热阻
又根据上节中的公式(d) 1,2 A1J1 X1,2 A2 J 2 X 2,1
以及角系数相对性？
A1 X1,2 A2 X 2,1
1,2
A1X1,2 (J1
J2)
J1
1
J2
A1 X 1,2
1
式中， J1 J 2 是空间热势差，A1 X1,2 则是空间辐
下面考察两个表面的情况， 假想面如右图所示，根据完 整性和上面的公式，有:
两个非凹表面及假想面 组成的封闭系统
X ab,cd 1 X ab,ac X ab,bd
ab ac bc
X ab,ac
2ab
X ab,bd
ab bd 2ab
ad
解方程组得:
X a b,cd
(bc ad) (ac bd) 2ab
质，则表面1对表面2的角系数X1,2是：表面1直接投射到 表面2上的能量，占表面1辐射能量的百分比。即
表面1对表面2的投入辐射
X1,2
表面1的有效辐射
(9-1)
同理，也可以定义表面2对表面1的角系数。从这个概
念我们可以得出角系数的应用是有一定限制条件的，
即漫射面、等温、物性均匀
(2) 微元面对微元面的角系数
在介绍角系数概念前，要先温习两个概念 (1)投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能，记为
G。
(2)有效辐射：单位时间内离开单位
面积的总辐射能为该表面的有效
辐射，参见图9-1 。包括了自身
的发射辐射E和反射辐射G。G
为投射辐射。
下面介绍角系数的概念及表达式。 (满辐透射示明意介图
如图9-2所示，黑体微元面dA1对微元面dA2的角系数记
为Xd1,d2，则根据前面的定义式有
X d1,d 2
Lb1 cos 1dA1d
E b 1dA1
dA2
cos1 cos2 r2
类似地有
X d 2,d1
dA1 cos 1 cos 2 r2
(9-2b)
(3) 微元面对面的角系数
由角系数的定义可知，微元面dA1对 面A2的角系数为
例9-1：求角系数X1，2
可加性
相对性
X 1, 2
A2 X 2,1 A1
A2 ( X 2,(1 A) X 2,A ) A1
其中，X2,（1+A）、 X2,A可由线算图查得； A1、A2已知
(3)、几种特殊几何关系的角系数 (a)包容关系（1是被包物体——凸面）
X 1, 2
1, X 2,1
F1 F2
外部： 内部：
q J1 G1
q E1 1G1 1Eb1 1G1
(1) 热势差与热阻 上节公式(9-12)：
J Eb (1 1)q
改写为：
q
Eb J
1
or
Eb J
1
A
式中，Eb J
辐射热阻。
称为表面热势差；1
or 1 则被称为表面 A
表面辐射热阻见图9-9所示，可 见，每一个表面都有一个表面 辐射热阻。 对于黑表面， ＝ 1 Rr ＝ 0 即，黑体的表面热阻等于零。
X1,2
1 A1
A1
cos1 cos2dA1dA2
A2
r2
1 A1
A1
A2 X d1,d 2dA1
(9-4a)
X2,1
1 A2
A1
A2
cos1 cos2dA1dA2 r2
1 A2
A1
A2 X d 2,d1dA2
(9-4b)
X1,2
1,2 1
A1 A2 d1,d 2 A1 d1
图9-2 两微 元面间的辐射
X d1,2
A2 d1,d 2 d1
d1,d 2
A2
d1
X A2 d1,d 2
微元面dA2对面A1的角系数则为
(9-3a)
X d 2,1 A1 X d 2,d1
(4) 面对面的角系数
(9-3b)
别为
面A1对面A2的角系数X1,2以及面A2对面A1的角系数X2,1分
热。封闭系统内充满不吸收任何辐射的透明介质。所采用
的方法称为“净热量”法。 1 黑体表面
如图9-7所示，黑表面1和2之间的辐射换热量为
1,2 A1Eb1 X1,2 A2 Eb2 X 2,1 A1 X1,2 (Eb1 Eb2 )
表面1发出 表面2发出
的热辐射 的热辐射
到达表面 到达表面
2的部分 1的部分
守恒可得:
n
X1,1 X1,2 X1,3 X1,n X1,i 1
i 1
上式称为角系数的完整性。若表面1为
非凹表面时，X1,1 = 0。
(3) 可加性
图9-3 角系数的完整性
如图9-4所示，表面2可分为2a和2b两个面，当然也可以分
为n个面，则角系数的可加性为
n
X1,2
X 1,2i
第九章 辐射换热的计算
§9-1 角系数的定义、性质及计算
前面讲过，热辐射的发射和吸收均具有空间方向特性，因 此，表面间的辐射换热与表面几何形状、大小和各表面的相 对位置等几个因素均有关系，这种因素常用角系数来考虑。 角系数的概念是随着固体表面辐射换热计算的出现与发展， 于20世纪20年代提出的，它有很多名称，如，形状因子、可 视因子、交换系数等等。但叫得最多的是角系数。值得注意 的是，角系数只对漫射面(既漫辐射又漫发射)、表面的发射 辐射和投射辐射均匀的情况下适用。 1. 角系数的定义
r 2
其结果用线算图表示。
几种典型三维几何体系的角系数线算图见247， P248；相应的角系数计算公式见(9-2)~(9-4)；
(2)、代数分析法*——利用角系数的三个性质求解
(a)三角形法
条件：a.三个表面均为非 凹表面；
b.垂直于纸面方向 为足够长
结果：
X 1,2
A1 A2 A3 2 A1
A3
三个非凹表面组成的封闭系统
(b)交叉线法
条件：a.二个表面均为非凹 表面；
b.垂直于纸面方向为 足够长
结果：
X1,2
(ad
bc) (ac 2ab
bd)
交叉线之和 不交叉线之和 2 表面1的断面长度
若系统横截面上三个表面的长度分别为l1，l2和l3，
则上式可写为
X1,2
l1
l2 l3 2l1
A1 A2 Lb1cos1d1dA1 A1 Lb1dA1
A1 A2 Lb1cos1dA2cos2dA1
A1Lb1r 2
1
A1
A1
A2
c os1c os 2dA2 r2
dA1
1
A1
A1
A2 X d1,d 2dA1
2. 角系数性质 根据角系数的定义和诸解析式，可导出角系数的代数性质。 (1) 相对性
A2 Eb2 X 2,1 A2 AEb2 X 2 A,1 A2B Eb2 X 2B,1
X 1, 2
A2 A A2
X 2 A,1
A2 B A2
X 2B,1
3 角系数的计算方法
(1)、直接积分法（数学分析法） ——直接利用角系数的定义，得
X1,2
1 A1
cos1 cos2dA1dA2
A1 A2
A1
A2
cos 1 cos 2dA1dA2 r2
1 A1
A1
A2 X d1,d 2dA1
X 2,1
1 A2
A1
A2
cos 1 cos2dA1dA2 r2
1 A2
A1
A2 X d 2,d1dA2
A1X1,2 A2 X 2,1
以上性质被称为角系数的相对性。
(2) 完整性
对于有n个表面组成的封闭系统，见图9-3所示，据能量
1,2 A1 X1,2 (Eb1 Eb2 ) 与黑体辐射换热比较，上式多了一个 s ，它是考虑由
于灰体系统多次吸收与反射对换热量影响的因子。
三种特殊情形
(1) 表面1为凸面或平面，此时，X1,2＝1，于是
s
1
X
1,2
1
1
1
1
X1,2
A1 A2
1
2
1
s
1
1
1
A1 A2
1
2
1
(2) 表面积A1比表面积A2小得多，即A1/A2 0 于是
表面1发出的有 表面2发出的有
效辐射到达表 效辐射到达表
面2的部分
面1的部分
根据下式及能量守恒有
J
Eb
(
1
1)q
J1 A1
A1Eb1
1
1
11,2
J 2 A2
A2 Eb2
1
2
1
2,1
1,2 2,1
于是有
图9-8 两个物体组成的辐射换热系统
1,2
1 1 1 A1
Eb1 Eb2
1 A1 X1,2
28
解：本题为两灰体表面间的辐射换热
问题，其网络图见图6-10，并且X2.1＝1， 代入式 （6-12b）有
1,2
A2 Eb1 Eb2
1
2
A2 A1
1
1
1
其中 A1=πDL, A2＝πd L,