圆压轴题八大模型题（一）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒
AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .
（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；
②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .
（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？
【典例】
（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，
垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；
（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，
AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若
＝，
O
H
P F E
D
C
B
A
（图1）
（图1-2）
则
＝ ．
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。
(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接
DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FG
AF
值。
3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是»AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
(1)求证：P 是线段AQ 的中点； (2)若⊙O 的半径为5，AQ ＝
，求弦CE 的长。
4．（2016•泸州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2＝CE •C A ． （1）求证：BC ＝CD ；
（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若PB ＝OB ，CD ＝，求DF 的长．
（图1-3）
A
B
C D
E
F G 图9
5．（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．
6.如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长；
(2)如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.
7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O
的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化
与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型2 切割线互垂
在Rt △ABC 中，点E 是斜边AB 上一点，以EB 为直径的⊙O 与AC 相切于点D ，与BC 相交于点F .
【典例】
（2018·四川成都）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D
的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G . （
1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ,y 的代数式表示线段AD 的长；
（3）若BE ＝8，sin B ＝5
13
，求DG 的长.
【变式运用】
A
O
G
F E
D
C
B
(1)AD=20,AE=10,求r; (2)AB=40,BC=24,求r. O F E D C B A (3)AC=32，AE=10，求r. (4)∠ABD=∠CBD. (5)DB 2
=BC ⋅BE; (6)AD 2=AE ⋅AB. 图(1) 图(2) 图(3)
1.（2018 泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
2.（2018·云南昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC 平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．
3.（2018·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接O C．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．
圆压轴题八大模型题（三）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型3 双切线组合
径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.
Rt △PBC 中，∠ABC ＝90°，Rt △PBC 的直角边PB 上有一点A ，以线段AB 为直径的⊙O 与斜边相切于点D .
【典例】
（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，PO 交AB 于点F ，延长BO 交⊙O 于点C ，交PA 的延长交于点Q ，连结A C ． （1）求证：AC ∥PO ；
O P D
C B A (4)P
D 2＝P A ⋅PB ;
(5)PB ＝8，tan α＝1
2， 求P A 和A D .
A B C D P O α(6)求证:OC ∥AD （变式）. (7)若AB ＝2,BC ＝,
求AD 、PD 、PA 的长. 图(1) 图(2) 图(3) (1)PB ＝8,BC ＝6,求⊙O 的半径r . (2)PD ＝4,PB ＝8,求BC 的长. (3)PD ＝4,P A ＝2,求⊙O 的半径r . D O E
C B A P
（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为3，CQ ＝2，求的值．
【变式运用】
1.（2016 青海西宁）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，BC=6，
．求BE 的长．（12分）
2.（2018·湖北武汉）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB 、PC ，PC 交AB 于点E ，且PA ＝PB. (1) 求证：PB 是⊙O 的切线.
(2) 若∠APC ＝3∠BPC ，求PE
CE
的值.
O P E C
B
A A
O
C B
E
P
Q
D
F
3.（2017 泸州）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．。