二次函数图象与性质知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2. 用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2a>0 向上 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大x<0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a<0 向下 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小x<0时，y随x增大而增大当x=0时，y最大=02.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0 a<0性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a 1. 决定抛物线的开口方向；2. 决定增减性a>0 开口向上a<0 开口向下c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0 交点在x轴上方c=0 抛物线过原点c<0 交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y轴左侧ab<0 对称轴在y轴右侧b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点1.求二次函数解析式的方法一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解.2.确定二次函数最值的方法确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示. 图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(2)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(3)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(4)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(5)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值.二次函数的图像和性质专项练习1.抛物线y=x 2+3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2．抛物线y=－b 2x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
3．抛物线y=－21(2)2x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
4.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )5.已知抛物线y=5x 2+(m-1)x+m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于4925,则m 的值为( ) A.-2 B.12 C.24 D.486.函数y=x 2+px+q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物线,则这个函数的关系式是( ) A.y=x 2+6x+11 B.y=x 2-6x-11 C.y=x 2-6x+11 D.y=x 2-6x+7 7．抛物线y=－21(2)2x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线22(1)3y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（-1，3）C ．（1，-3）D ．（-1，-3）9．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋21x y O 1x B y O 1x C y O1x y OC ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－210．二次函数2y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a 2(2)x -＋3 B ．y=a 2(2)x -－3 C ．y=a 2(2)x +＋3 D ．y=a 2(2)x +－3 11．抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 12．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a 2x ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14．化243y x x =++为y=243x x ++为y =a 2()x h -k +的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
15．抛物线y=24x x +－1的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
16．函数y=12-2x ＋2x －5的图像的对称轴是（ ） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=4 17．二次函数y=221x x --+图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 18．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ） A ．0 B ．6 C ．3 D ．919．抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－120．已知二次函数2y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 21．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（ ）22．画出214102y x x =-+的图像，由图像你能发现这个函数具有什么性质？23．通过配方变形，说出函数2288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？24．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。
已知抛物线的顶点是（―1，―2），且过点（1，10）。
25．已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。
24.(6分)已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的倒数和为23,求这个二次函数的关系式。