任意角三角函数的定义
1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P
2
3sin(α＋k ·2π)＝sin α cos(α＋k ·2π)＝cos α
tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )．
一、选择题
1．已知点P (4－3)是角α终边上一点则下列三角函数值中正确的是( )
A ．tan α＝－43
B ．tan α＝－3
4
C ．sin α＝－45
D ．cos α＝3
5
答案：B
解析：由三角函数的定义知x ＝4y ＝－3r ＝5所以sin α＝y r ＝－35cos α＝x r ＝45tan α＝y x ＝－3
4
2．如果角α的终边过点P (2sin30°－2cos30°)则sin α的值等于( ) A 12 B ．－12
C ．－32
D ．－3
3
答案：C
解析：由题意得P (1－3)它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2∴sin α＝－3
2
3．设a <0角α的终边经过点P (－3a 4a )则sin α＋2cos α的值等于( ) A 25 B ．－25 C 15 D ．－15 答案：A
解析：∵a <0角α的终边经过点P (－3a 4a )∴点P 与原点的距离r ＝－5a sin α＝－4
5
cos α
＝35∴sin α＋2cos α＝2
5
选A 4．若sin θ<cos θ且sin θ·cos θ<0则角θ的终边位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案：D
解析：由条件可知cos θ>0sin θ<0则θ为第四象限角故选D 5．cos480°的值是( )
A ．－12
B 12
C 32
D ．－32 答案：A
解析：480°＝360°＋120°所以cos480°＝cos120°＝－1
2
6．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π
3的值为( ) A ．－1＋32 B 1－32
C 3－12
D 3＋12
答案：C
解析：cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 23π＋sin 23π＝－12＋32＝3－12
二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________ 答案：0
解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0
8．若点P (2m －3m )(m ＜0)在角α的终边上 则sin α＝______cos α＝______tan α＝______
答案：31313 －21313 －32
解析：因为点P (2m －3m )(m ＜0)在第二象限且r ＝－13m
所以sin α＝－3m r ＝－3m －13m
＝31313cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313tan α＝－3m 2m ＝－3
2
9．如果cos x ＝|cos x |那么角x 的取值范围是________．
答案：⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π
2k ∈Z 解析：由cos x ＝|cos x |知cos x ≥0
∴角x 的终边落在y 轴或其右侧从而角x 的取值范围是⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π
2k ∈Z 三、解答题
10．已知角α的终边经过点P (－4a 3a )(a ≠0)求sin α、cos α、tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |
若a >0则r ＝5|a |＝5a 此时角α是第二象限角
∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－4
5
tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34
；
若a <0则r ＝5|a |＝－5a 此时角α是第四象限角∴sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35cos α＝x r ＝－4a －5a ＝
4
5
tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34
综上可得当a >0时sin α＝35cos α＝－45tan α＝－34；当a <0时sin α＝－35cos α＝45tan α＝－3
4
11．求下列各式的值．
(1)cos 25π
3
＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)因为cos 25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＝cos π3＝12
tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝tan π4
＝1 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝12＋1＝32
(2)因为sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝3
2
cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝3
2
sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝1
2
cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝1
2
所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12
＝1
能力提升
12．当α为第二象限角时|sin α|sin α－cos α|cos α|
的值是( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．－2 答案：C
解析：∵α为第二象限角∴sin α＞0cos α＜0∴|sinα|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α
－cos α＝1＋1＝2
13．已知角α的顶点在原点始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P (－3y )且sin α＝3
4
y (y ≠0)判断角α所在的象限并求cos α和tan α的值． 解：依题意点P 到原点O 的距离为|OP |＝r
＝(－3)2＋y 2＝3＋y 2∴y 3＋y 2＝3
4y
∵y ≠0∴9＋3y 2＝16∴y 2＝73y ＝±21
3
∴r ＝4 33
∴P 在第二或第三象限．
当点P 在第二象限时y ＝213则cos α＝x r ＝－34tan α＝y x ＝－7
3
；当点P 在第三象限时y
＝－213则cos α＝x r ＝－34tan α＝y x ＝73。