一道高考试题的多种解法
2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题:
S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中,
CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC.
,,,BC?SA;
证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少:
举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面
ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影.
?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?,
形直,角三角又是等腰?OB?OA.
BC?SA.
由三垂线定理得SOOAO?BCA1).
连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射
影得是,侧面BO,AO?AO?SO.
45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?.
.,在又,中90SOA???SOB??SOOB?.
即BCSA?.
由三垂线定理得
OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图
2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?)
.(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接
2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO.
三角形,
??SBCSOSASBCSBCABCDAO?.
在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3．
6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC.
中由余弦定理得,在SA?BC.
由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1).
作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,.
中在,,SA?BC.
由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面
3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3
SC?3SBC?.
在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影.
在底面BO?245??ABO?2AB?AO??ABOBO.
,中在,,SA?BC.
由三垂线定理得AEFEEF、AC、BCSE?SF?AB,连接:,作、垂足分别为(如图3). 证法七???SEABCSBCD面底,底侧面面DBCA.
?EAEFABCDSFSA内的、、在底面分别是AB?EF.
且射影,ABFABCSB?SA?中在的由中点,得是2?2BC45ABC???2AB?ACAB?,,,,
E??EFBC?BCACAE.
的中点是,∥.从而BCSA?.
由三垂线定理得FAEEEF、AC、BC,?SFABSE?侧面连接,、如图(垂足分别为作:证法八3), ?ABCDABCD?SESBC?.
,底面底面?AB?SAABCDEFEFEASF.
在底面且、内的射影、,分别是45??ABCBC?AE??BF??SABBF?1?ABEAF?EF1 ,在中,中在, BCSA?.
由三垂线定理得45?ABC?2AB?ADESEBBE?得,垂足为由,连接,(如图证法九:过作4),
2BE?AE?,
CSB?BE?BC面底侧面又,?SB?BE?ABCBE?SBC.
侧面,.5?SE SAERt??SBE中在在中,AE?SA2AE?5,SE?SA?3,.
,所以?BCAEBC?SA.
∥又,AOBCSSO?O.
作连接, 过,垂足为证法十:SBABCDAOBOSASBC?ABCDSO?在底面,分别是由侧面底面、底面、得ABCD内的射影.
?OBOASA?SB?又,45ABC???ABO?是等腰直角又,?OBOA?.
, 三角形x OBOAO, 为, 为坐标原点轴正方向以z OSy建立空间直为,轴正方向, 为轴正方向则5),标系(如图角坐2,0)(0,2?1),CB(0,?SA2,0),S(0,0,1)?(?2,0,BA(2,0,0),(0,2,0),C,, 0??SACB?BCSA?.
,3??SBAcosSAB?. 证法十一中易得: 在36??cos?SBCCBASBCcos??cos?SBA?cos又. 3BC?BA)BC?SBBCSB?SABC?(?BA
ABCBCcos?BA??SBBCcos?SBC?
262?22???23???20?32?SA?BC.
ABCD中形四边:在平行十证法二
2?2BC45ABC??DCACAB??2?.,,,x CA、CDy轴正方向建立空间分别以为轴正方向、6). (如图直角坐标系(0,0,0)C(?2,2,0),(2,0,0),DA(0,2,0),B又则
45??BCA?BC?SABCDABCDSBC?,. 在底面又内的射影在底面,上侧面,1?x?
3?SA?SB)xx?,,zS(2,2,0)??),CB(1??AS?(1,?,1. 得.可设由,?1?z?0?AS?CB?BC?SA.
,。