3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为 a 与 b(或 e)的 夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|； 特别地，a·a＝|a|2，|a|＝ a·a. (4)cosθ＝|aa|·|bb|.
A．4
B．3 C．2
D．0
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若 a，b，c 均为非零向量，则下列说法正确的是 ______①__②____．(填写序号即可)
①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·c＝b·c⇔a＝b； ④(a·b)·c＝a·(b·c)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
1．已知a＝(λ，2)，b＝(－4,10)，且a⊥b，则实数λ的值为
(C )
A．45
B．－45
C．5
D．－5
2．已知向量 a，b 满足|a|＝4，|b|＝1，且 a·b＝－2，则 a
与 b 的夹角大小为( B )
A．π3
B．23π
C．π6
D．56π
3．若向量 a，b，c 满足 a∥b，且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝( D )
P1P2 P1P4
P1P2 P1P5
P1P2 P1P6
类型二 用数量积表示两个平面向量的垂 直关系
(1)已知向量 a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则 a⊥b 的充
要条件是( D )
A．x＝－12
B．x＝－1
C．x＝5
D．x＝0
解：由向量垂直的充要条件得 2(x－1)＋2＝0，所 以 x＝0.故选 D.
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
(1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ(θ为 a，b 的 夹角)，a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ.
(2)b 在 a 方向上的投影为a·b，a 在 b 方向上的投影
|a|
为a·b. |a|
如图，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数 量积中最大的是( A)
（A） （B） （C） （D） P1P2 P1P3
已知 a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量 λa＋b 与 a
－2b 垂直，则实数 λ 的值为( A )
A．－17
B.
1 7
C．－16
D.16
解：由条件得 λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－ 1，2)，
因为 λa＋b 与 a－2b 垂直，所以(－3λ－1，2λ)·(－
1，2)＝0，即 3λ＋1＋4λ＝0，解得 λ＝－17.故选 A.
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
解：因为点 C(－1，0)，D(4，5)，所以C→D＝(5，5)，又 A→B＝(2，1)，所以向量A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos〈A→B， C→D〉＝A→B|C·→DC→| D＝5152＝3 2 2.故填32 2.
点 拨： 数量积 a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角 为 θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．其几何意义是：a·b 等 于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．在 理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题． 求投影的两种方法：
(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，
则( A )
A．a⊥b
B．|a|＝|b|
C．a∥b
D．|a|＞|b|
解：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2， 整理得 4a·b＝0，所以 a⊥b.故选 A.
点 拨： 两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量 积为 0，即：两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
解：a·b＝|a||b|cosθ，θ 为 a，b 的夹角，则 cosθ＝±1，
①正确；②显然正确；③错误，如 a＝－b，a⊥c，则 a·c＝b·c ＝0，但 a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数， 即等式左边为 c 的倍数，等式右边为 a 的倍数．故填①②.
(2)已知A→B＝(2，1)，点 C(－1，0)，D(4，5)，则向量A→B在 C→D方向上的投影为________．
2.如何利用平面向量的数量积解决几何中的垂直、 夹角、长度等问题。
❖ 教学难点：平面向量数量积的应用
1．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ.规定 零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．