正交多项式的性质（李锋，1080209030）摘要：本文主要阐述了由基},,,,,1{2nx x x 按G-S 正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram 矩阵的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。

同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。

因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间],[b a 上，给定权函数)(x ρ，可以由线性无关的一组基},,,,,1{2 nx x x ，利用施密特正交化方法构造出正交多项式族{∞0)}(x n ϕ，由)(x n ϕ生成的线性空间记为Φ。

对于],[)(b a C x f ∈，根据次数k 的具体要求，总可以在Φ在找到最佳平方逼近多项式)(*x k ϕ。

)(x n ϕ的具体形式为：2,1,)(),(),()(;1)(100=-==∑-=n x x x x x n k k k k k n nn ϕϕϕϕϕϕ这样构造的正交多项式)(x n ϕ具有以下一些有用的性质： 1.)(x n ϕ为最高次数项系数为1的n 次多项式；2. 任一不高于n 次的多项式都可以表示成∑=nk kkx 0)(ϕα；3. 当m n ≠时，0),(=m n ϕϕ；且)(x n ϕ与所有次数小于n 的多项式)(1x p n -正交，即0)()()(1=-⎰dx x p x x n nbaϕρ，其中)(x ρ为权函数；4. 存在递推关系： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，其中：,2,1,),(),(,)()(),(,,1,0,),(),(0)(,1)(11210=======---⎰n dx x x x x n x x x n n n n n b a n n n n n n n n ϕϕϕϕβρϕϕϕϕϕϕϕαϕϕ这里推论：（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根； （2）设0x 为正交多项式1+n ϕ的一个根，则)(02x n +ϕ和)(0x n ϕ异号；5.n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中；6. 假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。

下面来对以上的性质加以证明。

首先对于前3条性质，由)(x n ϕ的生成方式，线性空间与基的性质，函数正交的概念，显而易见它们是成立的。

性质（4），递推关系的证明： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，证明：由于)(x x n ϕ是1+n 次多项式，因此可以由110,,,+n ϕϕϕ 线性表出，即,)()()(01∑=++=nj j j n n x c x x x ϕϕϕ （1）其中j c 为常系数。

将上式两边同乘以2,,1,0),()(-=n s x x s ϕρ，并积分有：⎰⎰∑⎰=++=bab anj s j js n bas n dx x x x cdx x x x dx x x x x 01)()()()()()()()()(ϕϕρϕϕρϕϕρ上式左端当2,,1,0-=n s 时，)(x x s ϕ的次数小于n ，从而由正交性质得出积分值等于零。

同样右端第一个积分也为零。

于是，当2,,1,0-=n s 时，上式就变为∑⎰==nj bas j j dx x x x c 00)()()(ϕϕρ令0=s ，由正交性可知上式变为：⎰=ba o dx x x c 0)()(20ϕρ，从而00=c 。

同理，当s 依次为2,,2,1-n 时，可以推出0=s c ，于是（1）式就可以简化为：),()()()(111x c x c x x x n n n n n n ϕϕϕϕ++=--+ （2）下面来确定1,-n n c c 。

在（2）式两边同乘以)()(1x x n -ϕρ并积分，得：⎰⎰---=baban n n n dx x x c dx x x x x )()()()()(2111ϕρϕϕρ由（1）式，可以得到下面的关系：∑-=-+=11),()()(n j j j n n x b x x x ϕϕϕ 其中j b 为常系数.将上式代入（2）式中可以得到()),/(,)()(/)()(112121----=⎰=⎰n n n n ba n ba n n dx x x dx x x c ϕϕϕϕϕρϕρ；同理用)()(x x n ϕρ同乘以（2）式两端并积分，可得()),/(,)()(/)()(22n n n n ba n ba n n x dx x x dx x x x c ϕϕϕϕϕρϕρ=⎰=⎰；将1,-n n c c 代入（2）式并整理可以得到结论。

推论（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根；证明：反证法。

假设2+n ϕ和1+n ϕ有公共根，任取一个记*x 。

则由性质（4）可知也为*x n ϕ的一个根。

如此类推下去，必有所构造的所有正交多项式组均有一个公共的根*x 。

显然这是不对的，故假设不成立。

所以没有公共根。

推论（2）由性质（4）可以直接推出。

性质（5），n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中。

证明：令1≥n ，假定)(x n ϕ在),(b a 上不变号，则⎰⎰≠=baban n dx x x x dx x x 0)()()()()(0ϕϕρϕρ.这与正交性相矛盾。

故至少存在一点),(1b a x ∈使得0)(1=x n ϕ。

若1x 是重根，则21)/()(x x x n -ϕ为2-n 次的多项式。

由正交性可知：⎰=-ban n dx x x x x x ;0])/()()[()(21ϕϕρ但上式另一方面却有：⎰⎰>-=-baban n n dx x x x x dx x x x x x ;0)]/()()[(])/()()[()(2121ϕρϕϕρ从而可知1x 只能为单根。

假设)(x n ϕ在),(b a 内只有j 个单根)(,,,21n j x x x j < ，则有2222121)()())(()())()((j j n x x x x x x x q x x x x x x x ---=--- ϕ，对上式两端乘以)(x p 并积分，则左端由于)())((21j x x x x x x --- 的次数小于n ，因此积分值为零；但对于右端来说，由于)(x q 在),(b a 上不变号，所以积分值不为零。

从而由这个矛盾推出n j =。

性质（6）假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。

证明：采用归纳法。

设1=n ,)1(1x 表示多项式)(1x ϕ的根，很明显为唯一，由性质（5）可知b x a <<)1(1； 多项式)(0x ϕ为1（对于首项不为1的正交多项式组也必是正常数）。

由上述的推论（2）可知，)()1(12x ϕ为负数；另一方面，)(2a ϕ和)(2b ϕ都是正的，因为)(2x ϕ必可表示为b x x a x x x x <<<--)2(2)2(1)2(2)2(1),)((。

于是在闭区间],[],,[)1(1)1(1b x x a 上)(2x ϕ在端点上均异号，从而它的2个根分布必为b x x x x a <<<<)2(2)1(1)1(1)2(1,，从而1=n 时命题成立。

在归纳之前先考虑这样的关系成立：⎪⎩⎪⎨⎧<>>为奇数；为偶数；为任意值；n a n a n b nnn ,0)(,0)(,0)(ϕϕϕ假设1,≥=k k n 时命题成立，当1+=n k 时记点b x x x a k k k k ,,,,,)1(1)1(2)1(1++++ ；在a 点，)(2a k +ϕ和)(a k ϕ符号相同，在)1(1+k x 处异号，但)(x k ϕ在),()1(1+k x a 上没有根（由假设成立），即)(a k ϕ与)()1(1+k k x ϕ同号。

又由于)(a k ϕ与)(2a k +ϕ同号，)()1(1+k k x ϕ与)()1(12++k k x ϕ异号，所以有)(2a k +ϕ和)()1(12++k k x ϕ异号，故)(2x k +ϕ在),()1(1+k x a 上必有一个根。

在)1(2+n x 点，)(2x k +ϕ和)(x k ϕ符号相异，而)(x k ϕ在)1(1+k x 和)1(2+n x 之间有一个根，记为)(1k x ，所以)(x k ϕ在)1(1+k x ，)1(2+n x 点变号。

在)1(1+n x 点，)(2x k +ϕ和)(x k ϕ符号相异，从而有)(2x k +ϕ在点)1(1+k x ，)1(2+n x 变号，即)(2x k +ϕ在),()1(2)1(1++k k x x 上有一个根。

如此类推下去，可知在区间),(),,(,),,(),,()1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1b x x x x x x a k k k k k k k k k ++++++++ 上)(2x k +ϕ均有一个根，共k+2个。

而)(2x k +ϕ也只能有k+2个根，所以它的根的分布满足命题的规定。

从而命题得证。

参考资料：1. 蒋尔雄，赵风光．数值逼近．上海 ：复旦大学出版社， 1996；2. 李庆扬，关治，白峰杉．数值计算原理．北京：清华大学出版社，2000；3. 周国标，宋宝瑞，谢建立．数值计算．北京：高等教育出版社，2008；4.莫国端, 刘开第．函数逼近论方法．北京：科学出版社，2003。