中考数学动点专题复习教案
1、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，将正方形OABC 绕
点O 顺时针旋转30°，使点A 落在抛物线2
ax y =（0<a ）图像上。
（1）求
抛物线方程。
（2）正方形OABC 继续顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛
物线2
ax y =的图像上？并求这个点的坐标。
解：（1）设旋转后点A 落在抛物线上点A 1处，OA 1=1，过A 1作A 1M ⊥x 轴
于M ，则OM=23
，
21
1=
M A ，)21,23(1-A ，由A 1在
2
ax y =上得
2)23(21a =-
，解得
32
-
=a ∴
2
32x y -
=
（2）由抛物线关于y 轴对称，再次旋转后A 落在抛物线上的点A 2处，点A 2与
点A 1关于y 轴对称，易见继续旋转120°，点A 2的坐标为
)21,23(--
2、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线AC 上有一个动点P （不包括A 和C ），设AP=x ，四边形PBCD 的面积为y ，
（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围。
（2）有人提出一个判断“关于动点P ，△PBC 面积与
△PAD 面积之和为常。
” 请说明此判断是否正确，并说明理由。
（3）将题目中的矩形改为平行四边形，且已知平行四边形的面积为S ，对角线上一动点P ，是否有“△PBC 面积与△PAD 面积之和为常”，并说明理由。
解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，在Rt △ABC 中，AC=10，PC=AC-AP=10-x ，
∵PE ⊥BC，AB ⊥BC ,∴△PEC ∽△ABC ，则AC PC AB PE =,即
10108x
PE -=，PE=8-x 54
，∴△PBC 面积=x BC PE 5122421-=•，又△PCD 面积=△PBC 面积，∴y=
x
524
48-
（0<x<10）
S
（2）这个判断是正确的，S
△PBC +S
△PAD
=24；（3）有，S
△PBC
+S
△PAD
=2
3、如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A(3,0),B(0,3
)
两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD⊥x 轴于点D 。
(1) 写直线AB 的解析式； (2) 若S 梯形OBCD ＝
3
3
4，求点C 的坐标；
(3) 在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点
的三角形与△OBA 相似。
若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在；请说明理由。
解：（1）直线AB 解析式为：y=
3
3-
x+
3
（2）∵
233OB OA 21S AOB
=⨯=∆,OBCD S 梯形＝33
4，∴
6
3
S ACD =∆
由OA=
3
OB ，得∠BAO＝30°，AD=
3
CD 。
∴ACD S ∆＝21
CD×AD＝
2
CD 2
3＝
6
3
，可得CD ＝3
3。
∴AD=1，OD ＝2．∴C（2，
3
3）。
（3）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3
OB=3，
∴1P （3，
3
3）。
② 若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=3
3OB=1，
∴2P （1，3）。
当∠OPB＝Rt∠时，
③ 过点P 作OP⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA， ∠BOP＝∠BAO＝30°。
过点P 作PM⊥OA 于点M 。
在Rt△PBO 中，BP ＝2
1OB ＝
2
3，OP ＝
3
BP ＝2
3。
∵ 在Rt△P MO 中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝2
1OP ＝4
3；PM ＝
3OM ＝4
3
3．∴3P （
4
3，4
33）．
④ 若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°。
∴PM＝
3
3
OM ＝
4
3。
∴4P （4
3，
4
3）（由对称性也可得到点4P 的坐标）。
当∠OPB＝Rt∠时，点P 在x 轴上，不符合要求。
综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3,3
3
）,2P （1,
3
）,3
P （
4
3,4
33）,4P （4
3,
4
3）。
4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，CD=12，DA=21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动。
点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是 等腰三角形？
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB 时， 求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的 值；若不存在，请说明理由。
解：（1）首先0≤t ≤16，如图，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，PM=DC=12。
∵QB=16-t ， ∴S=12×（16-t ）÷2=96-t ，0≤t ≤16。
（2）设△BPQ 是等腰三角形，分三种情况：①PQ=BQ ，
在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122=BQ 2=（16-t ）2，解得t=3.5；②BP=BQ ，在Rt △PMB 中，BP 2=（16-2t ）2+122=BQ 2=（16-t ）2，即3t 2-32t+144=0，无解。
③PB=PQ ，由PB 2=PQ 2，得t 2+122=(16-2t)2+122，整理得3t 2-64t+256=0,解得
16,31621==
t t （不合题意，舍去）。
综上可知，答案为t=3.5或316秒。
（3）如图，由△OAP ∽△OBQ ，得
21
==OB AO BQ AP .
∵AP=2t-21,BQ=16-t, ∴2(2t-21)=16-t,
558=
t ,
过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E 。
∵PD=2t ，ED=QC=t ， ∴PE=t 。
在Rt △PEQ 中,
(4)设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ，如图，过点Q 作QE ⊥AD ，
垂足为E ，易见Rt △BDC ∽Rt △QPE, QE PE
BC
DC =
,即 121612t
=
，解得t=9。
所以当t=9秒时，PQ ⊥BD 。
5、如图，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， ∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°， DF=EF=4。
（1）移动△DEF ，使边DE 与AB 重合（如图1），再将△DEF 沿AB 所在的直线向左平移，使点F 落在AC 上（如图2），求BE 的长。
（2）将图2中的△DEF 绕点A 顺时针旋转，使点F 落在BC 上，连接AF （如图3），请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由（不再添加辅助线和标注其它字母）
解：（1）∵EF ∥BC ∴∠FEA=∠B=90°，∠CAB=∠FAE 。
∴△AEF ∽△ABC ，
BC EF
AB AE =。
∵AB=4，BC=6，DE=EF=4，∴644
=
AE ，AE=38，∴BE=AB-AE=4-38=34
（2）Rt △AEF ≌Rt △FBA ，在Rt △AEF 和Rt △FBA 中，EF=BA ，AF=FA ，∠B=∠E=90°
∴Rt △AEF ≌Rt △FBA。