三角函数三角函数的图像和性质：函数sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域 RR|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[1,1]-[1,1]-R 奇偶性 奇函数偶函数奇函数 有界性 sin 1x ≤ cos 1x ≤无界函数最小正 周期2π2π π2,222()32,222()k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∈⎡⎤++⎢⎥⎣⎦∈增区间减区间[][]2,2()2,2()k k k Z k k k Z ππππππ-∈+∈增区间减区间,22()k k k Z ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∈增区间 对称轴 ()2x k k Z ππ=+∈()x k k Z π=∈无对称轴对称 中心()(),0k k Z π∈(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ (),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()max min 221;221x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，()()()max min 21;211x k k Z y x k k Z y ππ=∈==+∈=-时，时，三个三角函数值在每个象限的符号：sinα cosα tanα·30° 45°60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°sin α2122 23 01－1624- 624+oπ 32π2πyo o2π π 32πy x2π2π x π32πxy2π 无最值最值单 调 区 间2.和差角公式 ①αβαsin )sin(=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαan an 1an an )(an t t t t t ⋅±=±3.二倍角公式及万能公式 ①θθθθθ2an 1an 2cos sin 22sin t t +== ②θθθθθθθ222222an 1an 1sin 211cos 2sin cos 2cos t t +-=-=-=-=③θθθ2an 1an 22an t t t -= ④22cos 1sin 2θθ-= ⑤22cos 1cos 2θθ+=4.三倍角公式：①θθθ3sin 4sin 33sin -= ②θθθ3cos 4cos 33cos +-= 5.辅助角公式：()sin cos a b θθθϕ+=+,其中tan baϕ=.如： sin 2sin cos 2sin ,36ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)4(sin 2cos sin π+=+θθθ6.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径). 变式：()sin sin sin i a b c A B C::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；7.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 8.面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.常用技巧①巧变角如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____3222、02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+ 490729②三角函数名互化(切割化弦) 1、求值sin 50(13tan10)+ 12、已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值 18③公式变形使用 (韦达定理)（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±若α+β=45°（1+tan α）（1+tan β）=21、A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____-2、ABC ∆，tan A tan B Atan B ++=，sin Acos A = ____三角形等边3、已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π，π23π<<β，求α ＋β 的值4、在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sin C ＝_____12-④三角函数次数的降升降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 2α+=2α1、若32(,)αππ∈为_____///sin 2α2、25f (x )sin x cos x x =-x R )∈递增区间＿＿51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

如1、求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；2、化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 1cos 22x⑥常值变换主要指“1”的变换 (齐次式)221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+- 35⑦正余弦的内存联系 “知一求二”θθθθθ2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±1、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = 212t -±2、已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值⑧辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

1、若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. ///[－2,2]2、当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______///32-3、如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ///－2一、化作同名三角函数 1. 22sin cos sin θθθ=22cos 1sin 2θθ-= 22cos 1cos 2θθ+=2. ()sin cos a b θθθϕ+=+,其中tan b aϕ=.如：sin 2sin cos 2sin ,36ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)4(sin 2cos sin π+=+θθθ3. 与向量挂钩 a=（x 1，y 1） b=（x 2，y 2） a •b=x 1x 2+y 1y 22.已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--。

求函数()f x3. 设函数()()1cos sin cos 2-+=x x x x f 求函数()f x4已知向量)sin sin (cos x x x a ωωω，-=，)cos 32sin cos (x x x b ωωω，--=， 求函数()f x5．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+ 求函数()f x二、图像性质与平移 1.sin()y A x ωϕ=+A ：振幅； T=wπ2：周期 x ωϕ+：相位；ϕ：初相； 2.函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象； ③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象； ④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。

3. 要特别注意：对于x 平移来说，左加右减； 对于y 平移来说，上加下减4. 在sin()y A x ωϕ=+中，令wx+φ=X ，则可由sinX 的性质求出y 的单调区间、对称轴、对称中心5. 由x 的定义域求出wx+φ的求值范围，再利用单位圆求出sin （wx+φ），在求出y 的值域6. 周期的判断①最近的两个波峰（波谷）的距离为一个周期 ②相邻的一个波峰和一个波谷的距离为半个周期 ③相邻的两条对称轴的距离为半个周期 ④相邻的两个对称中心的距离为半个周期 ⑤一个连续的递增（递减）区间的距离为半个周期练习1.已知函数()2sin(2)4f x x π=-（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间；（6）若3[0,]4x π∈，求()f x 的取值范围； （7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ。

2.设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则 （C ）A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A 3.对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭给出下列结论： ①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到； ④图像向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。