【模拟演练】
1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )=(a +2cos 2
x )cos(2x +θ)为奇函数,且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4=0,
其中a ∈R ,θ∈(0,π).
(1)求a ,θ的值; (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-2
5,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α+π3的值.
2、[2014·北京卷16] 函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x +π6的部分图像如图所示.
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值; (2)求f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤-π2,-π12上的最大值和最小值.
3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ).
(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
5π4的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.
4、( 06湖南)如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)证明 sin cos 20αβ+=; (2)若
求β的值
.
5、(07福建)在ABC △中,1tan 4A =
,3tan 5
B =.
(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若ABC △,求最小边的边长.
6、(07浙江)已知ABC △1,且sin sin A B C +=.
(I )求边AB 的长; (II )若ABC △的面积为1
sin 6
C ,求角C 的度数.
7、(07山东)如图,甲船以每小时 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒
的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的
北偏西120︒
方向的2B 处,此时两船相距海里, 问乙船每小时航行多少海里?
8、(2013年全国新课标2)在ABC ∆中,c b a ,,C B A 所对的边分别为,,角,已知
B c
C b a sin cos +=
(1)求B ;
(2)若b=2, 求ABC S ∆的最大值。
9、(2016年北京高考)在ABC ∆中,ac b c a 22
22+=+
(1)求角B 的大小;
(2)C A cos cos 2+求的最大值。
10、(2016绥化模拟)在ABC ∆中,232cos 2
--x x C 是方程的一个根。
(1)求角C ;
(2)当a+b=10时,求ABC ∆周长的最小值。
11、(2014年陕西高考)在ABC ∆中,c b a ,,C B A 所对的边分别为,,角。
(1)若c b a ,,成等差数列,证明sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若c b a ,,成等比数列,求cosB 的最小值。
【模拟演练参考答案】
1、解:(1)因为f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,而y 1=a+2cos 2x 为偶函数,所以
y 1=()cos 2x θ+ 为奇函数,又()0,θπ∈,
得.2
πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+()
. 由04=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ,得-(a+1)=0,即 1.a =- (2)由(1)得:()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
,得4sin ,5α=
又2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
,所以3cos ,5α=-因此
sin sin cos sin cos 333πππααα⎛
⎫+=+= ⎪⎝⎭
2、解:(I )()f x 的最小正周期为π,076
x π
=
,03y =. (II )因为[,]212x ππ∈--,所以52[,0]66
x ππ
+∈-
, 于是当206
x π
+=,即12
x π
=-
时,()f x 取得最大值0;
当26
2
x π
π
+
=-
,即3
x π
=-
时,()f x 取得最小值3-.
3、解:(1)5555(
)2cos (sin cos )4444f ππππ=+2cos (sin cos )444
πππ=---2= (2)因为2
()2sin cos 2cos f x x x x =+sin2cos21x x =+
+)14
x π
=
++.
所以22
T π
π=
=. 由 222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈,得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππ
ππ-+∈. 4、[解] (1).如图3,
(2)2,sin sin(2)cos 22
22
π
π
π
απββαββ=
--=-
∴=-=-,
即sin cos 2
0αβ+=.
(2).在ABC ∆中,由正弦定理得
,.sin sin sin()sin sin DC AC DC βααπβαβ
=⇒=
∴=-
由(1)得sin cos 2αβ=-,2
sin
22sin ),β
ββ∴=
=-
即2
sin 0.sin sin 2
3
ββββ-==
=-解得. 0,sin ,.2
23
π
π
βββ<<
∴=
⇒=
5、解:(Ⅰ)
π()C A B =-+,
1345tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=--⨯.又0πC <<,3
π4C ∴=.
(Ⅱ)
3
4
C =π,AB ∴边最大,
即AB =.
又
tan tan 0A B A B π⎛⎫
<∈ ⎪2⎝⎭
,,,,∴角A 最小,BC 边为最小边.
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
,,
且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,
,得sin 17A =
. 由
sin sin AB BC C A =得:sin 2sin A
BC AB C
=
=所以,最小边BC = 6、解:(
I )由题意及正弦定理,得1AB BC AC
++=
,BC AC +=,
两式相减,得1AB =.
(II )由ABC △的面积
11sin sin 26
BC AC C C =,得1
3BC AC =,
由
余
弦
定
理
,
得
222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()21
22
AC BC AC BC AB AC BC +--==,
所以60C =.
7、解:如图
,连结12A B ,22
A B =
1220
60
A A =
⨯= 122A A B ∆是等边三角形,1121056045B A B ∠=︒-︒=︒,
在121A B
B ∆中,
由余弦定理得
22212111211122
2
2cos 4520220200
2
B B A B A B A B A B =+-⋅︒
=+-
⨯⨯=, 12B
B =
因此乙船的速度的大小为
6020
⨯= 答:乙船每小时航行海里.
8、(I )4
π
=
B (2)12+
9、(I )4
π
=B (2)1
10、(I )
3
2π
(2)3510+ 11、(I )正弦定理易正 (2)2
1。