问题探究:
今天是星期一，那么 8100 天后
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r


C1909071

C1 00 100

（7 C100
079
9



C99 10
0）
1
余数是1，所以这一天是星期二
小结：
(1) (1 1)4 x
(2) (2 x 1 )6 x
解:（1）(1
1)4 x

1
4( 1 ) x

6( 1 )2 x

4( 1 )3 x

(1)4 x
1
4 x

6 x2

4 x3

1 x4
.
(2)
(2
x
1 x
)6

( 2x 1)6 x

1 x3
(2x
1)6
64 x3 192 x2 240 x 160
2.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
对定理的再认识
特别地:
1、把b用-b代替
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+ … +(-1)rCnran-rbr + … +(-1)nCnnbn
2、令a=1，b=x
(1 x)n 1 Cn1x Cn2x2 Cnr xr Cnn xn
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个
括号中取b(其余括号中取a)的组合数
C
r n
.那么，
我们能不能写出(a+b)n的展开式？
引出定理，总结特征
（ a b )n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N)
二项式定理
的最小值.
课后探究：
1.二项式系数Cn0 , Cn1,Cn2 ,,Cnn有何性质?
2.如何求 1 x 2x2 5展开式中x5项的系数?
求（3y 2x）6的展开式的第三项
T3 T21 C62 3 y 62 2x2 4860y4x2
2.求 x3 2x 7 的展开式的第4项的二
项式系数，并求第4项的系数.
解：展开式的第4项的二项式系数 C73 35
新疆 王新敞
奎屯
第4项的系数 C73 23 280
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N)
1.项数规律： 展开式共有n+1个项
2.系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 ？
(a b)n ？
尝试二项式定理的发现:
（a b)1 a b
（a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
（ a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N)
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Cnr a b nr r 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
思 考 ：若展开（1 2x)5呢？
（ 1 2x)5 C50(2x)0 C15(-2x)1 C52(2x)2
C35(2x)3 C54(2x)4 C55(2x)5 1-10x 40x2 - 80x3 80x4 32x5 （1 2x)5 1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
尝试二项式定理的应用： 练习：
（1）（.1 2x）5展开式第3项是
T21 C（52 2x)2 40x2
（2）.第3项的二项式系数是 10
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
例2. 用二项式定理展开下列各式：
（ a b )n a n an-1b an-2b2 abn-1 bn
尝试二项式定理的发现:
（a b)3 (a b)(a b)(a b)
C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3
a3 a2b a b2 b3
C
0 3
C13
C 32
C 33
尝试二项式定理的发现:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
C C r anrbr n
n bn
n
(n N)
T C (a b)n的展开式通项 r anrbr的特点：
r 1
n
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
二项式定理
（ a b ) n ?
问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这
一天是星期几呢?
（星期一）
(2)如果是15天后的这一天呢？
（星期二）
(3)如果是 8100 天后的这一天呢？
回顾：
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
尝试二项式定理的应用： 例 1 ： 展开（1 2x)5
（ 1 2x)5 C50(2x)0 C15(2x)1 C52(2x)2
C35(2 x)3 C54(2 x)4 C55(2 x)5 110x 40x 2 80x3 80x4 32x5
尝试二项式定理的应用：
（a b)4 (a b)(a b)(a b（) a b)

C 04 a 4

C14a3b

C 24 a 2 b 2

C34a b3

C
4 4
b
4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C14
C
2 4
C 44
归纳提高 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律： 对于（a+b）n= (a b)(a b) (a b)
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
布置作业：
10.4 二项式定理
A . 必做题
习题10.4 T2 、T3 、 T4(1)(2)
B. 选做题
在
(2x3

1 x2
)n
的展开式中，若常数项存在，则n

60 x

12 x2

1 x3
.
二项式定理的应用：
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
(x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
课堂练习
1.求（2x 3y）6的展开式的第三项
T3 T21 C622x623y2 2160x4 y2