一、教材改编 1．[多选题][必修二·P162 习题 8.6 T2 改编]下列命题正确的是 () A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
答案：AC
3．[多选题][2020·山东淄博模拟]已知直线 l 和两个不同的平面 α， β，则下列结论错误的是( )
A．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β C．若 l∥α，l∥β，则 α∥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
性 质 垂直于同一个平面的 定 两条直线 平行 理
图形语言
符号语言
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
⇒l⊥α
l⊥b
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 它在平面上的射影
所成的锐角，叫做
这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成 的角是 直角 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的
答案：①③⇒②或②③⇒① 解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论， 共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论 时，还可能 l∥α 或 l 与 α 斜交；①③作为条件，②作为结论和②③ 作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．
6．[2019·全国Ⅱ卷·节选]如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， 点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1.证明：BE⊥平面 EB1C1.
2．若平面 α⊥平面 β，且 α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是
() ①平面 α 内的直线必垂直于平面 β 内的任意一条直线；②平面 α
内的已知直线必垂直于平面 β 内的无数条直线；③平面 α 内的任一 条直线必垂直于平面 β；④过平面 α 内任意一点作交线 l 的垂线，则 此垂线必垂直于平面 β
证明：由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE ⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE，又 BE⊥EC1， B1C1 ⊂ 平 面 EB1C1 ， EC1 ⊂ 平 面 EB1C1 ， B1C1∩EC1＝C1，所以 BE⊥平面 EB1C1.
题型一 直线、平面垂直的判定[自主练透]
1．直线 l1，l2 互相平行的一个充分条件是( ) A．l1，l2 都平行于同一个平面 B．l1，l2 与同一个平面所成的角相等 C．l1，l2 都垂直于同一个平面 D．l1 平行于 l2 所在的平面
第5节 空间直线、平面的垂直
【教材回扣】
1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，则直线 l 与平 面 α 互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直 线 l 的垂面．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
判 一条直线与一个平面 定 内的两条 相交 直线 定 都垂直，则该直线与此 理 平面垂直
答案：C 解析：A 中，当 l1，l2 都平行于同一个平面时，l1 与 l2 还可能相 交或异面，故 A 错；B 中，当 l1，l2 与同一个平面所成的角相等时， l1 与 l2 还可能相交或异面，故 B 错；C 中，根据直线与平面垂直的性 质定理，C 正确；D 中，当 l1 平行于 l2 所在的平面时，l1 与 l2 不一定 平行，故 D 错．
个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
判 定 定 理
一个平面过另一个平面 的 垂线 ，则这两个平面
垂直
性 质 定 理
两个平面垂直，则一个平 面内垂直于 交线 的
直线与另一个平面垂直
符号语言
ll⊥ ⊂αβ⇒α⊥β
α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
【教材提炼】
二、易错易混
3．若 l，m 为两条不同的直线，α 为平面，且 l⊥α，则“m∥α”
是“m⊥l分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A 解析：由 l⊥α 且 m∥α 能推出 m⊥l，充分性成立；若 l⊥α 且 m⊥l， 则 m∥α 或者 m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充 分不必要条件，故选 A.
4．已知直线 a 和平面 α，β，若 α⊥β，a⊥β，则 a 与 α 的位置 关系为________．
答案：a∥α 或 a⊂α 解析：当 a⊂α 且 a 垂直于 α、β 的交线时，满足已知．
三、走进高考 5．[2019·北京卷]已知 l，m 是平面 α 外的两条不同直线．给出 下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出 一个正确的命题：________.(答案不唯一)
角是 0° 的角．
(2)范围：0，π2.
3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做
二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足， 在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所构成的
角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两
A．3 B．2 C．1 D．0
答案：B 解析：已知两个平面垂直，画出图象：
①如图，a⊂α，b⊂β，且 a、b 与 l 都不垂直，则 a 与 b 不一定 垂直，不正确；②a⊂α，作 b⊥l，则 b⊥a，则 β 内的所有与 b 平行 的直线都与 a 垂直，正确；③a⊂α，但是 a 与 l 不垂直，则 a 与 β 不 垂直，不正确；④由两个平面垂直的性质定理可知正确，故选 B.
2．[必修二·P158 练习 T2]已知直线 a，b 与平面 α，β，γ，能使 α⊥β 的充分条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
答案：D 解析：对 A，α 与 β 可能平行；对 B，当 α 与 β 相交但不垂直时， 也会有 b⊥a，b⊂β；对 C，α 与 β 可能平行，也可能相交，故 A，B， C 均错误．