线性 电阻 网络 N
(b) ˆ ˆ = 0, u2 = uS
ˆ ˆ uk = Rk ik
ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 + ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 +
b
∑ u iˆ
k =3 b
k k
=0 =0
∵ uk = Rk ik
ˆ ∑u i
k =3
k k
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴ uk ik = Rk ik ik = ( Rk ik )ik = uk ik
i = ( i1 ,i2 ,...........,ib )
u = ( u1 ,u2 ,...........,ub )
ˆ ˆ ˆ ˆ i = ( i1 , i2 ,..........., ib )
ˆ ˆ ˆ ˆ u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向 则有： 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有： 关联参考方向
b k=1
b
∑
ˆ uk ik = 0
ˆ ∑u i
k=1
k k
=0
KCL、KVL和特勒根定理合称为拓扑约束，适 、 合称为拓扑约束 和特勒根定理合称为拓扑约束， 用于任何集总电路 用于任何集总电路 例4-8 已知如图 , 求电流 ix 。 i1 + ix 10V 1A R N 解： 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。 方向如图所示。 由特勒根定理2 由特勒根定理2，得： 5V + i2
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1： 特勒根定理 ： 对于一个n个结点， 条支路的网络 令向量i=(i 条支路的网络， 对于一个 个结点，b条支路的网络，令向量 1，i2…..，ib) 个结点 分别表示支路电流和支路电压， 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定 分别表示支路电流和支路电压 支路电压和支路电流为关联参考方向 关联参考方向， 支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
ˆ ˆ 特殊 uS = uS , 则i2 = i1
b
∑u i
k=1
k k
=0
证明： 证明： 4 ① 1 ② 2 5 0 3 6 ③ KCL： ：
支路电压与结 点电压关系： 点电压关系： u1 = un1 u2 = un1 − un 2 u3 = un 2 − un 3 u4 = un 3 − un1 u5 = un 2 u6 = un 3
i1 + i2 − i4 = 0 − i2 + i 3 + i5 = 0 − i 3 + i 4 + i6 = 0
证明： 证明：
设共有b条支路， 设共有 条支路， 条支路
b
ˆ ˆ ˆ u1 = uS , u2 = 0; u1 = 0, u2 = uS
ˆ ˆ u1i1 + u2 i2 + ˆ ˆ u1i1 + u2 i2 +
∑Hale Waihona Puke k=3 bˆ uk ik = 0 ˆ uk ik = 0
∵ uk = Rk ik
ˆ ˆ uk = Rk ik
b b k k
∑u iˆ
k=1
=0
ˆ ∑u i
k=1
k k
=0
证明与前同
二、特勒根定理2： 特勒根定理 ：
如果有两个网络N和 ˆ 它们由不同的二端元件构成， 不同的二端元件构成 如果有两个网络 和 N ，它们由不同的二端元件构成，它们 的拓扑图完全相同， 的拓扑图完全相同，它们的支路电流和支路电压向量分别用 图完全相同
能量守恒是特勒根定理1的特例 能量守恒是特勒根定理 的特例 二、特勒根定理2： 特勒根定理2：
i1 + i2 − i4 = 0 − i2 + i 3 + i5 = 0 − i 3 + i 4 + i6 = 0
如果有两个网络N和 ˆ 它们由不同的二端元件构成， 不同的二端元件构成 如果有两个网络 和 N ，它们由不同的二端元件构成，它 们的拓扑图完全相同 图完全相同， 们的拓扑图完全相同，它们的支路电流和支路电压向量分 ˆ ˆ ˆ ˆ i= 别用 ( i1 ,i2 ,...........,ib ) i = ( i1 , i2 ,..........., ib ) u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) ˆ ˆ ˆ ˆ u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) 来表示 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向则有： 关联参考方向则有 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向则有：
6
∑u i
k =1
k k
= u1 i1 + u2 i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5 i5 + u6 i6 = un1 i1 + ( un1 + un 2 )i2 + ( un 2 − un 3 )i3 + ( un 3 − un1 )i4 + un 2 i5 + un 3 i6
= un1 ( i1 + i2 − i4 ) + un 2 ( − i2 + i3 + i5 ) + un 3 ( − i3 + i4 + i6 ) KCL： ： =0
R
ˆ N
b
10 × ( − i x ) + 0 × i2 +
0 × ( − i1
ˆ ˆ ˆ ∵ uk ik = ik Rk ik = ik uk
∴ − 10i x = −5
∑ u iˆ = 0 ˆ ) + ( −5 ) × 1 + ∑ u i = 0
k k 3
b
k k
3
i x = 0.5 A
互易定理证明
∑
k=3
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴ uk ik = Rk ik ik = ( Rk ik )ik = uk ik
∴
ˆ ˆ ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 = u1 i1 + u2 i2
ˆ ˆ ˆ 由 u1 = uS , u2 = 0; u1 = 0, u2 = uS
ˆ ˆ uS i1 = uS i2 即 ˆ uS uS = ˆ i2 i1
对于一个线性电阻网络，若电路只有一个激励， 对于一个线性电阻网络，若电路只有一个激励，则激励与响 应互换位置时，其激励和响应的比值保持不变。 应互换位置时，其激励和响应的比值保持不变。 电压源激励， 一、第一种形式:电压源激励，电流为响应 第一种形式 电压源激励 a a i1 c + 线性 + + + 电阻 ˆ i1 u2 i2 u1 uS ˆ u1 网络 – – – N – d b b (a) 证明： 证明： ˆ u1 = uS , u2 = 0; u1 设共有b条支路 条支路， 设共有 条支路， ˆ i2 c + + ˆ ˆ uS u2 – – d