第五章 特勒根定理5-1 引言特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更普遍的意义。

特勒根定理是B.D.H. Tellegen 在本世纪五十年代初提出的[1、2]。

实际上，在此之前，已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。

最早的工作应追溯到 1883年 O. Heaviside 的论文[6]。

尽管如此，先于Tellegen 的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。

定理以 Tellegen 的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。

特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。

本章介绍特勒根定理。

首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。

5-2 特勒根定理定理5-1（特勒根定理1）：对n 个节点b 条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，必有0),,,(02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b T b I I I V V V I V （5.1）其中，b V 和b I 分别是支路电压和支路电流向量。

证明：由第一章网络的关联性可知m Tb b nTa b I K I V K V == （5.2）各符号意义同第一章，于是有b a Tn b T b I K V I V ⋅= (5.3)由基尔霍夫电流定律0=b a I K （5.4）故必有0=b T b I V （5.5）证毕。

定理5-2（特勒根定理2）：对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全一致，必有b b 和0~=b T b I V （5.7）成立。

其中b b I V ,和b b I V ~,~分别属于两个不同网络。

证明：由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一致，故在节点、支路及回路编号一致时，两者必然具有相同的关联矩阵a K 和b K ，这样有b a T n b T b I K V I V ~~= （5.8）上式显然为零。

这就证明了式（5.6）。

同理可证式（5.7）。

式（5.1）和式（5.8）也可以用基尔霍夫电压定律加以证明。

以式（5.8）的证为例m T b b m T b T b b T b I V K I K V I V )~(~~== （5.9）而由基尔霍夫电压定律0~=b b V K从而式（5.9）等于零。

所以，特勒根定理并不同时依赖于基尔霍夫两个定律，而仅由其一即能推导出定理的结论。

这种认识很重要，由此可以将特勒根定理作更广泛意义上的拓广。

定理5-1反映了网络能量守恒关系，称之为功率定理。

定理5-2是两个不同网络支路电压和电流的乘积，具有功率量纲，没有实际意义，称之为拟（似）功率定律（Quasi-power theorem)5-3 互易定理互易定理（Reciprocity theorem ）可以用特勒根定理简捷地证明，是特勒根定理应用的一个范例。

互易性有两种等效的但是不同的定义。

在一种定义中，设有一个有源二端口网络，观察它的响应，如果将源与负载交换后响应一样，则网络是互易的，如图5-1所示。

图中，若网络互易，必有12~V V =。

Maxwell , Rayleigh 和Lorentz 等人应用另一种更广泛的定义来定义n 端口网络的互易性。

这就是，一个p 端时不变网络，或者一个1+p 端元件，如果存在2 2 S I 图5-1 互易定理 (a)(b)1=k k k k k 其中k 对应于端口则称它是互易的。

显然这是第一种定义的拓广。

网络元件可以看作是最简单的网络。

因此若一个元件满足式（5.10），则称为互易元件。

对于一个两端元件e ，如图5-2，考察e V s e V ~ s ~图5-2 元件的互易性0~~=-e e e e I V I V （5.11） 是否成立以确定是否是互易元件。

对于线性电阻、电容及电感，有0~~~~=-=-e e e e e e e e e e I I Z I I Z I V I V （5.12）因此它们是互易元件。

理想变压器是两端口元件，容易证明它是互易元件。

可以举出许多非互易元件的例子，如晶体管，回转器等等。

定理5-3（互易定理）：由互易元件组成的网络一定是互易网络。

证明：组成网络N 的元件可以用支路表示，设端口支路用k 表示，内部支路用j 表示，则由特勒根定理2，有0~=∑b T b I V （5.13）0~~=∑+∑k k pkj j b jI V I V （5.14） 0~~=∑+∑k k pkj j b jI V I V （5.15） 两式相减，有0)~~()~~(=-∑+-∑k k k k pkj j j j b jI V I V I V I V （5.16）由于网络有互易元件组成，故0)~~(=-∑j j j j b jI V I V （5.17）得到0)~~(=-∑k k k k p kI V I V这正是式（5.10）.证毕。

注意，独立电源不是互易元件，所以对于独立源应放在端口。

受控源不一定不是互易元件，如线性负电阻就是互易元件。

故互易性和无源性不完全等同。

5-4 交互互易定理对于网络N 和N ~，若满足 1）N 和N ~具有相同的拓扑结构。

2）如果内部支路（独立电源以外的支路 ）具有阻抗表达形式，并满足b Tb Z Z ~= （5.19a ）或b T b Y Y ~= （5.19b ）其中b Z 和b Y 分别是支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵；3）N 和N ~端口以外的支路，即独立电源支路具有相同的性质（电压源或电流源）； 则称N 和N ~互为伴随网络（Adjoint network ）。

定理5-3（交互互易定理）：若网络N 和N ~相互伴随，则对于非独立电源支路集合b ，必有0)~~(1=-∑=l l l l bl I V I V (5.20a)或写作0~~=-b T b b T b I V I V （5.20b ）并称之为交互互易定理（Interreciprocity ）。

证明~~~~~)~~(~~~=-=-=-=-b T b b T b b T b T b b T b bT b b b T b b T b b T b V I I V I Z I I V I I Z I V I V I V由于N 和N ~具有相同的拓扑，故Ta b a n K Y K Y = （5.21a ）Tab a n K Y K Y ~~= (5.21b) 考虑到b Y 及b Y ~互为转置，有TaT b a n K Y K Y ~= （5.22） 由式（5.21b ），得TaT b a T T a b a T n K Y K K Y K Y ~)~(~== （5.23）从而T n n Y Y ~= （5.24）同理可得Tnm Z Z ~= （5.25） 因此伴随网络的性质1和2等价为节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵互为转置。

由式（5.16），设独立电源端口电压和电流参考方向相反，有)~~()~~(11k k k k bk j j j j b j I V I V I V I V -∑=-∑== （5.26） 即p T p p T p b T b b T b I V I V I V I V ~~~~-=- （5.27）若b b p p I V I V ,,,及b b p p I V I V ~,~,~,~从属于两个相互伴随的网络N 和N ~，由本节定理，有0)~~(1=-∑=k k k k pk I V I V （5.28）或0~~=-p T p p T p I V I V （5.29）这与互易定理的形式（5-10）完全一致。

但有一些不同。

互易定理成立的前提是组成网络的元件必须是互易元件，它是对同一个网络而言。

交互互易定理的条件是两个相互伴随的网络，并不要求元件具有互易性。

事实上互易性是交互互易性的特例，分析如下。

若网络N 由互易元件构成，必然满足式（5.17）， 即0~~=-b T b b T b I V I V （5.30）而bb Tb T b b b Tb b T b T b bT b b T b b T b b T b I Z Z I I Z I I Z I V I I V I V I V ~)(~~~~~~-=-=-=- （5.31）上式恒为零，只有Tb b Z Z = （5.32）这说明，互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N 本身。

由上式可以知道，由互易元件构成的节点导纳矩阵和回路阻抗矩阵必为对称矩阵。

所以交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构造出伴随网络。

（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵取相应矩阵的转置即可）。

因此伴随网络的选择非常容易。

若网络N 的参考数发生了变化b Z ∆，由此b V 和b I 都将变化，假定网络N ~不变，则b b b b b b b I Z I Z I Z V ∆+⋅∆=∆=∆)( （5.33）考虑式（5.20），有bT b T b b T b b T b b T b T b bT b b T b T b b T b T b bT b b T b b b T b b T b b I Z I I V V I I Z I I V I Z I I Z I I V I V I I V I V V ~)~~(~~~~~~)(~~)(∆=∆-∆+∆=∆-∆+∆=∆-∆=∆+-∆+ 即又∵b Tb b T b V I V I ~~∆=∆有∴b b T b b T b b T b I Z I I V V I ∆=∆-∆~~~ （5.34） 上式说明了不含独立源的支路电压电流与网络参数变化量的近似关系（式（5.33）是近似表达），它在灵敏度分析中起着重要作用。

5-5 广义特勒根定理本节介绍适合一切可以用线性方程表述的物理系统的广义特勒根定理。

由第三章可知，任意矩阵A 都可表达为LDR A = （5.35） 的分解形式。

其中A 是m n ⨯阶矩阵，L 和R 分别为0，-1，1组成的q n ⨯和m q ⨯阶矩阵，D 是由A 的非零元素组成的对角线矩阵。

由此有下面的一．广义特勒根定理定义：称A ~与A 互为结构伴随矩阵，若满足T T L D R A ~~= （5.36）于是，有下面的定理5-4（广义特勒根定理）：对于结构相互伴随的n n ⨯阶矩阵A 和A ~形成的方程组B AX = （5.37a ） 和B X A ~~~= （5.37b ）必有B X W Y T T ~~= （5.38a ）和X B Y W T T ~~= （5.38b ）成立。