重庆市名校联盟2017学年下期联合考试数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数.5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
6．考试结束后，只将答题卡交回。
特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. （1）i 为虚数单位 ，则=2)2(i （ ）(A) 4- (B) 4 (C) 2(D) 2-（2）某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8（3）设随机变量ξ服从正态分布(,9)N u ，若(3)(1)p p ξξ>=<，则u =（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 1（4）已知⎩⎨⎧<+≥-=)6)(2()6(5)(x x f x x x f ，则)3(f =()(A) 3 (B) 2 (C) 4(D) 5 （5）《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽·泉组合给一位歌手给出的评分分别是：22,21,20,19,1854321=====x x x x x ，现将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）(A) 2=S ，即5个数据的方差为2 (B) 2=S ， 即5个数据的标准差为2(C) 10=S ，即5个数据的方差为10 (D) 10=S ，即5个数据的标准差为10(A) x x x sin cos ),4,0(>∈∀π(B)x x x R x cos sin 22sin ,=∈∀(C)a b a b ⋅=⋅(D) 343log 4=（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）(A) 2 （B ）4 （C ） 6 （D ）12 （8）如图21,F F 为双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，圆O ：2222b a y x -=+，过原点的直线与双曲线C 交于点P ，与圆O 交于点M 、N ，且15||||21=⋅PF PF ，则=⋅||||PN PM （ ）（A ）5 （B ）30 （C ）225 （D ）15（9）将4名新来的学生分到高三两个班，每班至俯视图(第7题图)否少一人，不同的分配方法数为（ ）(A) 12 (B) 16 （C ）14 （D ）18 （10）如图，O 为∆ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,4,6为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=（ ）（A ）10- (B) 36 (C) 16 (D) 13第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分． （一）必做题（11-13题） （11）已知全集={1,2,3,4,5,6}I ，集合={1,2,4,6}A ，={2,4,5,6}B ，则=⋂)(B A C I .（12）函数)6)(2(x x y -+=的最大值是 .（13）满足条件AB=2,BC AC 2=的三角形ABC 的面积的最大值是 ．（二）选做题（14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）（14）如图，AB 是圆O 的直径，过A 、B 的两条弦AC 和BD 相交于点P ，若圆O 的半径是3，则AC AP BD BP ⋅+⋅的值 。
（15）以坐标原点为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为θρcos 4=的曲线与参数方程⎩⎨⎧+=--=ty tx 20152014（t 为参数）的直线交于A 、B ，则||AB = 。
（16）若函数9|||2|)(--++=m x x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（13分，第一问6分，第二问7分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求证：3π=+C A ；(II)若413sin sin -=C A ,求)cos(C A -的值。
（18）（13分,第一问6分，第二问7分）某校高二上期月考语文试题的连线题如下：将中国四大名著与它们的作者连线，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．其得分标准是：每连对一个得3分，连错得1-分。
一名考生由于考前没复习本知识点，所以对此考点一无所知，考试时只得随意连线，现将该考生的得分记作ξ．（Ⅰ）求这名考生所有连线方法总数； （Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．（19）（13分，第一问6分，第二问7分）如图,在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=AP 21=2，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD 。
(Ⅰ) 求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(Ⅱ) 求面GEF 与面EFD 所成锐二面角的大小。
（20）（12分，第一问6分，第二问6分）已知函数mx e m x x f 2)()(-=。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有3491)(e x f ≤，求m 的取值范围。
（21）（12分，第一问4分，第二问4分，第三问4分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的长轴长为 6，离心率36=e ，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆E 标准方程；（Ⅱ）设P ),(11y x ,Q ),(22y x 是椭圆E 上的两点，)3,(),3,(2211y x n y x m ==，且0=⋅n m , 设),(00y x M ，且OQ OP OM ⋅+⋅=θθsin cos ()R θ∈,求2203y x +的值; （Ⅲ）如图，若分别过椭圆E 的左右焦点F 1，F 2的动直线21, 相交于P 点，与椭圆分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率k 1、k 2、k 3、k 4满足k 1+k 2=k 3+k 4．是否存在定点M 、N ，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M 、N 点坐标；若不存在，说明理由．（22）（12分，第一问4分，第二问8分）已知数列)2,(,,,:321≥∈*n N n a a a a A n n 满足01==n a a ，且当)(2*∈≤≤N k n k 时，1)(21=--k k a a ，令∑==ni i n a A S 1)(。
（Ⅰ）写出的所有)(5A S 可能值； （Ⅱ）求)(n A S 的最大值和最小值。
名校联盟2017-2018学年下期高2017级联合考试数学试题（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1-5 A D A B A 6-10 C B D C D10提示：如图建立直角坐标系，设B ),(11y x -，C ),(11y x ，A ),(22y x ，圆的半径为R 。
则1336)()(16)()(2122222221212122122122122=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-++=-+-y y R R y x R y x y y x x y y x x 又132********=-=-+=⋅y y R y y y x AO AM二、填空题:本大题共5小 题，每小题5分，共25分．11. {1,3,5} 12. 4 13. 34 14. 36 15.16.),7[]11,(+∞⋃--∞13方法一：从三角函数角度思考，如图，169251sin 145444cos 242222-+-=⇒-=-+=m m C m m m m C 125169sin 22124-+-=⋅⋅=∴∆m m C m m S ABC 34916)920(16922≤+--=m 方法二：从解析几何思考，如图建直角坐标系，设动点),(y x C A （-1，0），B （1，0）013102)1()1(2222222=+-+⇒=+-++⇒=x y x y x y x BC AC 916)35(22=+-y x ，所以动点C 的轨迹是圆心为)0,35(，半径为34的圆，所以三角形ABC 的高的最大值为34。
所以3434221)(max =⨯⨯=∴∆ABC S 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）解：（Ⅰ）ac b c a ac c b a c b a -=-+⇒=+-++222))((……3分3,32212cos 222ππ=+=⇒-=-+=⇒C A B ac b c a B ……6分（Ⅱ）C A C A C A sin sin cos cos )cos(+=-C A C A C A C A C A sin sin 2)cos(sin sin 2sin sin cos cos ++=+-=23413221=-⨯+=…13分（18）解: (Ⅰ) 所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列，所以连线方法总数是2444=A 种。
……6分 (Ⅱ) ξ的可能取值为4,0,4,12-……8分(12)P ξ=441124A ==，(4)P ξ=244414C A ==，(0)P ξ=1444213C A ⨯== (4)P ξ=-4433924A ⨯==……12分（每个1分）ξ的分布列为:数学期望9114412024424E ξ=-⨯+⨯+⨯=．……13分（19）解 (Ⅰ) 证明:∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥CD ∵CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD∵CD ⊂平面PCD ∴平面PCD ⊥平面PAD 。
………6分（Ⅱ） 如图以D 为原点,以DP DC DA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系D －xyz.不妨设AB=BC=AP 21 =2。
则G （1，2，0）,E （0，1，1），F （0，0，1），EF=（0，－1，0），EG=（1，1，－1）设平面EFG的法向量为n=（x ，y ，z ）∴00.000n EF y x z x y z y n EG ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪⎩ 取n=(1,0,1) 平面PCD 的一个法向量,DA=(1,0,0)。