2011石家庄二中高一分班考试数学试题一.选择题1．如图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞22．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14，则原来盒中有白色棋子( ) A ．8颗 B ．6颗 C ．4颗 D ．2颗 3.如图，直径为10的⊙A 经过点)5,0(C 和点)0,0(O ，B 是y 轴右侧⊙A优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( ) A ．21 B ．43C ．23D ． 54 4.某个节日，6位小朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌的半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm,现在又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人间的距离与6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧长）相等.设每人向后挪动的距离是xcm ，根据题意，可列方程( ) A.810602610602x)π()π(++=+ B ． 66028)60(2⨯=+ππxC.8)60(26)1060(2⨯+=⨯+x ππ D ．6)60(28)60(2⨯+=⨯-x x ππ5-x 的取值范围是( )A ．x<0B ．x ≥－2C ．－2≤x ≤0D ．－2＜x ＜0第3题图第1题图第6题图6.已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是( )7. 一个滑轮起重装置如图，滑轮半径cm 10，当重物上升滑轮的一条半径OA 绕轴心O 设绳索与滑轮间没有滑动，π取14.3，结果精确到︒1）A ．︒115B ．︒60C ．︒57D ．︒298.如右图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形经过连续2011次翻滚后，它的方向是( )9. 如图，直线333+=y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为)0,1(，圆P 与y 轴相切于点O ，若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，4==DC AD ，8=BC ，点N 在BC 上，2=CN ，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使MB EM +的值最小，此时其最小值一定等于( )AA B C D E M NO 第16题图第10题CA ．6B ．8C ．4D ．二.填空题11．分解因式=--+123x x x .12. 已知311=-y x ，则分式=---+yxy x y xy x 2232___________. 13.方程221222-=-+-xx x x 的解为_________. 14. 已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为_________. 15.下列命题中，真命题有___________.①所有正多边形都相似；②函数3)12(2++=x y ，当1->x 时，y 随x 增大而减小；③圆内接正方形的面积为28cm ，则该圆的周长为cm π4；④若关于x 的不等式组2{--<>a x a x 无解，则1->a .16.在正五边形ABCDE 中，点M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若CN BM =，则=∠BON ___________.A B C D 第17题图 A B C D EFG 第18题图第20题图17.如图 ，在ABC ∆ 中，BC AD BAC ⊥=∠,45 于点D ，若,2,3==CD BD 则该三角形的面积_________.18. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,,60,90︒︒=∠=∠C ABC,322==AD BC 点E 是BC 边的中点，DEF ∆是等边三角形，DF 交AB 于G ，则BFG ∆的周长 _________.19. 将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．20．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B . （1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 .三.解答题21.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG . 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排第19题图图1 图2第22题图A B C D E FGH Q MN P图3 图4割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.22．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？23. 矩形OABC 的边OA 长为8，边AB 的长为6，将矩形形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．（1）当α=90°时，BPPQ的值是 ．（2）①如图2,当矩形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在射线OC 上时,求BPPQ的值; ②如图3,当矩形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积．（3）在矩形OA B C 旋转过程中,当00180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，′图1使BP=12BQ ？若存在，请直接写出点P 的位置；若不存在，请说明理由． 24.在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理APy =K O图1O ABC A ′B ′C ′PQO ABCA ′B ′C ′P（Q ）图2图3数学试卷答题纸3分，共30分）1. 2. 3. 4. 5. __ 6. 7. 8. 9. 10.4分，共40分）11. 12. 13. 14. 15. _ 16. ____ 17. 18. 19. 20.50分） 分)22.（12分）A B C D E FGH Q MN P图3 图4O ABCA ′B ′C ′PQ 图2O A BCA ′B ′C ′P（Q ）图323.（14分）（1）当α=90°时，BPPQ的值是 ．（2）24. (14分)2011石家庄二中高一分班考试数学试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1.D2.C3.C4.A5.C6.D7.C8.B9.B 10.A 二、填空题（每题4分，共40分）11.)1()1(2-+x x ;12.53- ; 13. 1=x ; 14. 1-<x ; 15.③ ;16.︒108 ; 17. 15 ; 18. 33+; 19. 32 ;20. （1）)3-23(， (2分) （2）（2，2）、⎪⎭⎫ ⎝⎛4521，、⎪⎭⎫⎝⎛1611411，、⎪⎭⎫ ⎝⎛2526513， （注：共2分．对一个给0.5分，得2分的要全对，其余有错不倒扣分）三、解答题（共50分） 21. 解：（1）拼接成的平行四边形是 平行四边形ABCD （如图3）． （2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为25． 22. 解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x += （2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ 图3DAB CA DG C BEQ H F M N P 图4整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去）∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少．最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元23. 解：（1）47BP BQ =． （2）①POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''，即668CP =， 92CP ∴=，72BP BC CP =-=．同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B C C Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．722BP BQ ∴=．②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△．OP B P '∴=． 设B P x '=，在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得254x =． 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△．（3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． 当点P 在点B左侧时，9PC BC BP ∴=+=+当点P 在点B 右侧时PC BC BP ∴=-257844=-= 24. 解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴ P A ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ，∴四边形OKP A 是正方形．（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =P A =PB =PC ．∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ，O AP 2y =B C图2GMPG =x32． sin ∠PBG =PBPGx x =． 解之得：x =±2（负值舍去）． ∴ PGP A =B C=2．易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1，∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3． ∴ A （0，B （1，0） C （3，0）． 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩解之得：a=3， b=3-， c∴二次函数关系式为：233y x x =- ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：02u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：uv=-∴直线BP的解析式为：y -．过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM的解析式为：y解方程组：233y y x x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM的解析式为：y t =+． ∴0=t ．∴t =-∴直线CM的解析式为：y =-．解方程组：233y y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩得：1130x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，． 解法二：∵12PAB PBC PABCS S S ∆∆==，∴A （0，C （3，0）显然满足条件．延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ． 又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABCS S S ∆∆==．∴点M又点M 的横坐标为AM =P A +PM =2+2=4． ∴点M （4点（7，综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=P A．又∵AM∥BC，∴12PBM PBA PABCS S S∆∆==．∴点M2x-+=．解得：10x=（舍），24x=．∴点M的坐标为（4．点（7，综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．。