的所有点上压力和重力的共同作用都是一样 的。这样，圆管中的流速分布便是轴对称的。
取半径为 r 、长度为 dL 的圆柱体作为分析对
τ0
τ
p + ∂p dL
u
τ
∂L
rp
r0
τ mg
dL
L
θ
图 6—2 圆管内流体的定常层流
象，由于流动是等速的，故圆柱体在重力、两端面的总压力和圆柱侧面的粘滞力作用下处于
2
平衡状态，于是
速的分布仍是均匀的，且随着 x 方向流动距离的增加而变得越来越大。当流体通过上述的
这个边界层汇聚点之后，在管道内即形成了稳定的抛物线形的速度分布，且该速度分布不再
随管长的变化而变化，即 du = 0 。 dx
1
从进口段到边界层汇合点的管长称为动力进口段，汇合点之后的区域称为充分发展区。 同样，当流体温度与管壁温度不相同时，从进口截面开始，也会产生热边界层，且热
3
流动，由于流体的物性不随温度变化，即动量方程与能量方程之间没有藕合作用，因而可以
先求速度场，后求温度场，而速度场已由上述方法求得，
再利用能量方程就可求出温度分布。
三、 恒热流密度时对流换热系数的确定
t
tw
tm
恒热流密度下的换热，如电加热、辐射加热、以及换
tc
热器中单位面积换热量为常量的情况，其温度（壁温、容
此表达式对粘性流体在圆管内的紊流流动同样适用。
由于粘性流体在管壁上的流速等于零，管轴上的流速最大，故半径方向上的速度梯度
为负值。为保证切向应力的值为正值（因切向应力的方向在列平衡方程时已经考虑），取
τ = − μ du ，因此 dr
du = 1 d ( p + ρgh)rdr 2μ dL
（6－6）
对r
qw
=
r0U 2
ρC p
d T~ dx
（6－18） （6－19） （6－20）
因此，
11 α U 48 a
d T~ dx
r02
=
r0U 2
ρC p
d T~ dx
（6－21）
Nu = α d = 4 .3636 λ
（6－22）
说明对于充分发展的管内层流流动换热，管径一定时，对流换热系数正比于流体的导热系数，
6—1 圆管内充分发展的层流流动和换热
一、 进口段与充分发展区
流体在管内的稳定流动，应划分成两个区域：进
口段和充分发展区。在这两个区段中，流动状况和换
热状况都不一样。在进口段，流体的流动状况与传热
过程分别和流体纵掠平板的相似；而在管内流动到一
段距离后即到达充分发展区后，流体的流动状况与传
热过程呈现出与流体纵掠平板不同的特点。如图 6—1，
−T − T~
，再积分，这样连续迭代，
0
x
直到两次求出的温度分布接近， Nu 就逼近一极限值，
图 6—4 恒壁8 λ
（6－26）
可见，恒壁温时的 Nu 比恒热流时的 Nu 小 16％，这主要由于管内的温度分布略有不
同（如图 6—4）所致。
五、 进口段的对流换热
义是 Pr = v ，v 是流体的运动粘度代表了动量的扩散率，而 a 是流体的热扩散系数代表了 a
热量的扩散率。 Pr = 1 表示动量的扩散与热量的扩散相当，这时速度边界层与热边界层沿 流动以相同的速度发展，即具有相同的进口段； Pr > 1 ，速度边界层提前汇合，热进口段 长度大于动力进口段长度； Pr < 1 ，热边界层提前汇合，动力进口段长度大于热进口段长
− Tw )
∂
(T~ − ∂x
T
w
)
⎤ ⎥ ⎦
=
0
（6－13）
T w 和 T~ 仅为 x 的函数，而 T 为 x 和 r 的函数，
(T~
−
Tw
)(
∂T ∂x
−
dT w ) − (T dx
−
T
w
)(
d T~ dx
−
dT w ) dx
=
0
（6－14）
[ ] 由于对流换热密度为常数，而 qw
= α (Tw
− −
T T~
d T~ dx
=
1 r
∂ ∂r
(r
∂T ∂r
)
由于 Tw Tw
−T − T~
为未知，所以不能直接积分求解，只能用迭
t
代法求出近似解。将恒热流密度时的温度分布作为第一近
似解，得出 T w Tw
−T − T~
，代入上述方程，积分得出第二次
（6－24）
（6－25）
tw
tm
的温度分布，再得出 T w Tw
这里所讨论的进口段内的对流换热，是指流动已充分发展而温度边界层则刚刚开始发展
的温度进口段（热进口段）。试设想这样一种管内换热的情况，在流动充分发展以前管壁是
绝热的，而在流动充分发展以后管壁与外界发生热交换，温度边界层才开始发展。这就是说，
流体流动的速度分布已稳定不变，而流体的温度则因和管壁发生对流换热逐渐沿径向和轴向
和u
=
2U
⎡ ⎢1 ⎣
−
(
r r0
)2
⎤ ⎥ ⎦
代入，
2U a
⎡ ⎢1 − ⎣
(
r r0
)2
⎤ ⎥ ⎦
d T~ dx
= 1 ∂ (r ∂T ) r ∂r ∂r
（6－16）
其边界条件为：
r = 0 ， ∂T = 0 ∂r
4
r = r0 ， T = T w
对方程进行两次积分后，最终得
T
= Tw
−
2U a
均匀流动的流体在刚进入管内即在 x = 0 的截面上，
流体的速度均匀分布。在进入管内后，由于流体粘性
的作用，在管内壁上会形成流动边界层，其厚度 δ 随 图 6—1 管内稳定流动的进口段和充分发
着沿 x 方向流动距离的增加而增厚，一直发展至四周
展区
的边界汇聚到中心的一点为止。在此过程中，在管中心处没有受到边界层影响的区域内，流
第六章 层流对流换热
从流体力学知道，流体的流动状态可分为层流、紊流以及从层流至紊流的过渡区，判 定流动状态的准则数是雷诺数：
Re
=
ρ uL μ
=
uL v
（6－1）
对于外掠流动，流速 u 取边界层外的主流速度 u ∞ ，特征长度 L 取沿流动方向的纵向距离
x ；对于管（槽）内的流动，流速 u 取截面的平均速度 u m ，特征长度 L 取流道的当量直
与流体的流速和其它物性均无关。实际上，管内的层流不存在径向的对流作用，因此，对流
换热问题相当于流体的导热问题。但引起注意的是，得出此结论的前提是流体为常物性，若
当流体温度与壁温相差很大时，必须考虑流体物性随温度的变化，尤其是流体的粘性随温度
的变化，此时应对上述结论进行修正。
四、 恒壁温时对流换热系数的确定
度。
定义容积平均速度U 为
容积平均温度 T~ 为
∫ U
=1 π r02
r0 2π rudr
0
（6－2）
∫ T~
=
1 π r02U
r0 2π ruTdr
0
（6－3）
其中， u 为管内某一截面上的轴向速度， T 为管内某一截面上沿半径 r 的温度分布， r0 为
管内半径。由此可得到无因次的速度和无因次的温度分别为 φ
− T~) ，所以有 d dx
α (Tw
− T~)
= 0 ，若对流换热
系数 α
为常量，有
dTw = dT~ = 常数 ， 因 此 ， dx dx
∂T = dTw = dT~ = 常数 ，即三种温度沿 x 轴均呈直线变化。 ∂x dx dx
对于常物性流体的低速流动，可以忽略粘性耗散热，轴对称的能量方程为
积分，得 u
=
1 4μ
d (p+ dL
ρgh)r 2
+C
，当 r
=
r0 时，u = 0 ，C
=
−
r0 4μ
d dL
(p+
ρgh) ，
因此，速度分布为
u = − r02 − r 2 d ( p + ρgh ) 4 μ dL
（6－7）
可见，粘性流体在圆管中作层流流动时，流速呈旋转抛物面的分布规律，管轴上的最大流速 为
积温度、流体温度）分布如图 6—3 所示。在温度的充分
充分发展区
发展区，存在着稳定的无量纲温度分布， ∂ Η = 0 ，即 0
x
∂x
∂ ∂x
(
T T~
− −
Tw Tw
)
=
0
，将其展开
图 6—3 恒热流密度下的温度分布
(T~
1 − Tw )2
⎢⎡(T~ ⎣
− Tw )
∂ (T − Tw ) ∂x
−
(T
u max
= − r02 4μ
d ( p + ρ gh ) dL
（6－8）
由于旋转抛物体的体积恰好等于它的外切圆柱体体积的一半，因此，平均流速等于最大流速 的一半，即
U
=
1 2
u max
= − r02 8μ
d ( p + ρ gh ) dL
（6－9）
同时，无量纲速度的分布为
φ= u U
=
⎡ 2 ⎢1
d T~ dx
( 3 r02 16
−
r2 4
+
r4 16 r02
)
而容积平均温度 T~ 可由其定义，最后求得为
（6－17）
∫ T~
=
1 π r02U