dp∞ v、t三个未知量， 可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微 dx
∂t ∂t ∂ 2t u +v = a 2 ∂x ∂y ∂y
分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。
7-2
边界层分析
τ↔
7-2-4 边界层流动与传热分析
ηU ∞ (7-2-17) δ 对于具有均匀压力的自由流，dp∞ = 0 ，根据边界层的动量方程(72-15)有惯性力项～摩擦力项 dx U∞2 U v ∞ (7-2-18) L δ2 式(7-2-18)要求 vL 1 2 δ ( ) (7-2-19) U∞ 即 δ −1 Re L 2 (7-2-20) L 式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。
Nu ~ Pr1 2 Re L1 2
u ~ U∞ δt δ
(7-2-30)
7-2
边界层分析
δt
L ~ Pr −1 3 Re L −1 2
将式(7-2-29 )代入式(7-2-24 ) ，得到
(7-2-31)
与式(7-2-20 )比较，可知
δt ~ Pr −1 3 1 δ (7-2-32) 类似地可以得到大Pr 数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变 化规律：
7-2
边界层分析
上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方 程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗 特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程 间题得到了有效的解决。
7-2-1 速度边界层
通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用， 在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速 度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的 区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响， 此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。
7-1 对流换热中的根本问题
图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别
7-1 对流换热中的根本问题
可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速 度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。 以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中 的基本方程得到：
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
7-2
边界层分析
图7-2 外掠平板的速度边界层
7-2
边界层分析
通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99％处，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y＝δ以外区域，粘性的影响由于速度 梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为 两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂 直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切 应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度 已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界 层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽 略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边 界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影 响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理 想化概念。 边界层的另一重要特点是其厚度δ远远小于平壁的长度L ，即占 δ<<L。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分 析中不难得到此结论。 此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些 在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。
C1 =
τ
无量纲摩擦系数
1 取决于雷诺数，即 ( ρU ∞ 2 ) −1 2 C ~ Re 2
1 L
(7-2-22)
分析基于热边界层厚度的换热方程，有
h~
λ ( ∆t δ t )
∆t
~
式中， t = tw − t∞ 表示边界层的温度变化。 ∆
λ δt
(7-2-23)
7-2
边界层分析
考虑边界层能量方程各项的数量级： 对流项～导热项 ∆t ∆t ∆t u ,v ~ a 2 δ t L δt (7-2-24) 若热边界层厚度远大于速度边界层厚度，δt >>δ，则速度边界层 外的速度u 等于主流速度U∞，得到该区域的速度 v ~ U δ 。 L
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热
7-1 对流换热中的根本问题
工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所示，流体以均匀的速度u∞和温度T∞流过温度为Tc的 平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件 冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中 需要了解以下两个问题： (1) 介质中平板的受力情况。 (2) 平板与介质的换热情况。 对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)， 也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力 学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二 个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率， 这是传热学的根本问题。
h~
λ
L
Pr1 3 Re L1 2
，Pr>>1
(7-2-33)
Nu ~ Pr1 3 Re L1 2 ，Pr>>1 (7-2-34) 在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几 何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值[见式(7-2 - 20 )]。
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
流动摩擦阻力
7-2
边界层分析
−1 2
式(7-2 -20)的意义在于，它指出了只有 Re L << 1 的情形，边界层 理论才有效。例如，在边界层的前缘， Re −1 2 不会远小于1，故边 L 界层理论不适用。 式(7-2-17)可改写为 U∞ −1 −1 2 2 τ η Re L ρU ∞ Re L 2 L (7-2-21)
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
(∂p ∂x)( dy dx) vδ δ 2 ↔ ↔( ) = 1 U∞ L L ∂p ∂x
(7-2-12 )
比较方程(7-2-7 )右侧两项，得到
dp ∂p = dx ∂x
7-2
边界层分析
与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处， 边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即
7-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
1. 布劳修斯解 上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过 不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相 似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常 微分方程。1908 年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标， 求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4 所示， 边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u = U∞。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围 是相同的, 即速度分布被伸展。
dp∞ ∂p = dx ∂x
(7-2-14)
将方程(7-2-14 )代入方程(7-2-5)得
∂u ∂u 1 dp∞ ∂ 2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ∂y ρ dx
(7-2-15)
类似地分析可以得到边界层能量方程 (7-2-16) 式(7-l-1)、(7-2-15 )和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、
∞
将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即
U ∞ ∆t L ~ a
进一步可以得到
∆t
δt 2
(7-2-25)
δt
L
~ Pe −1 2 ~ Pr −1 2 ~ Re L −1 2
(7-2-26)
7-2
边界层分析
其中 PeL = U ∞ L a 是贝克来数。比较式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以 发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特 数，即 δt ~ Pr1 2 δ (7-2-27) 低普朗特数(Pr<<1 )下的对流换热表面传热系数可以表示为 λ h ~ Pr1 2 Re L1 2 ，Pr <<1 (7-2-28) L 或表示为努塞尔数的形式： (7-2-29) 若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度, 则温度边界层内的速度 可认为
∂ 2u ∂y 2 相比， ∂x 2 可以忽略不计，于
(7-2-5)
7-2
边界层分析
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v u +v = − +ν 2 ρ ∂y ∂x ∂y ∂y
类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程 (7-2-6)
通过数量级分析可以得到
(7-2-7) 因此，通常在边界层流动中(特别是层流)不讨论方程(7-2-6) ，但 它对边界层内的压力分析提供了帮助。 也可以通过以下分析简化压力项。考虑图7-l 所示的边界层内任一 点的压力的全微分
第七章 层流边界层的流动与换热
上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换 热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这 些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个 别的问题采用经典方法得到了分析解。
本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基 于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了 数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 —— 相 似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积 分方程的方法进行介绍。