7-1 对流换热中的根本问题
工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所板示。，这流种体换以 热均表匀面的可速以度是建u∞和筑温围度护T结∞构流、过电温于度器为件Tc的冷平 却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中需 要了解以下两个问题： (1) 介质中平板的受力情况。 (2) 平板与介质的换热情况。 对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)， 也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力 学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二 个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率， 这是传热学的根本问题。
7-2 边界层分析
7-2-2 温度边界层
与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁 面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区 域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边 界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在 垂直于流动方向流体温差t∞－t 等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温 度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外 部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处 理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层 厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的 热物性。
7-2 边界层分析
式(7-2 -20)的意义在于，它指出了只有 ReL1 2 1 的情形，边界层
理论才有效。例如，在边界层的前缘， 界层理论不适用。
Re
1 L
2
不会远小于1，故边
式(7-2-17)可改写为
U L
ReL
1 2
U
2
ReL
1 2
(7-2-21)
无量纲摩擦系数 C1
(
1 2
U
2
)
取决于雷诺数，即
(7-2-2)
u v 0 x y
U V
L
(7-2-3)
可知 V U
L
(7-2-4)
7-2 边界层分析
考虑边界层内x 方向的动量方程
u
v
v
v
1
p
(2v
2v )
x y x x2 y2
U
U L
,v
U
P ,vU ,vU
L L
在上式中，惯性力项均为U2 ，不能忽略任一项。但在边界层区
L
2u
2u
考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程 (7-1-1)和动量方程(7-2-14) ：
u v 0
(1)
x y
(2)
uБайду номын сангаас
u x
v
v y
v
2u y 2
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
对应的边界条件是 y = 0, u = v = 0 y → ∞, u → U∞ 应用流函数，连续性方程得到满足, 动量方程的形式为
第十三章 复合换热
第七章 层流边界层的流动与换热
上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换 热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这 些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个 别的问题采用经典方法得到了分析解。
本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基 于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了 数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 —— 相 似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积 分方程的方法进行介绍。
(7-2-30)
7-2 边界层分析
将式(7-2-29 )代入式(7-2-24 ) ，得到
t
L
~
Pr1 3 ReL1 2
(7-2-31)
与式(7-2-20 )比较，可知
t ~ Pr1 3 1
(7-2-32)
类似地可以得到大Pr 数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变 化规律：
h
~
L
Pr1 3
Re
1 L
7-2-4 边界层流动与传热分析
流动摩擦阻力 U
(7-2-17)
对于具有均匀压力的自由流，dp 2-15)有惯性力项～摩擦力项 dx
0
，根据边界层的动量方程(7-
U2 L
式(7-2-18)要求
v U
2
(7-2-18)
(
vL
)
1 2
U
即
L
ReL
1 2
式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。
(7-2-19) (7-2-20)
C1
~
ReL
1 2
分析基于热边界层厚度的换热方程，有
(7-2-22)
h ~ (t t ) ~
式中，t tw t 表示边界层的温度变化。t
t
(7-2-23)
7-2 边界层分析
考虑边界层能量方程各项的数量级：
对流项～导热项
t t t
u
L
,v
t
~
a
2 t
(7-2-24)
若外热的边速界度层u 等厚于度主远流大速于度速U度∞，边得界到层该厚区度域，的δt >速>度δ，则v速~度U边 界。L层
7-2 边界层分析
上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方 程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗 特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程 间题得到了有效的解决。
7-2-1 速度边界层
通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用， 在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速 度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的 区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响， 此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。
7-2 边界层分析
图7-3 外掠平板的温度边界层
7-2 边界层分析
7-2-3 边界层微分方程组
在主流区
u=U , v 0, p p,t t
(7-2-1)
用量δ级表。示在速边度界u由层壁区面域处，的可u以=得0 到变如化下到数接量近级主关流系速：度U∞的距离的数
x～ L ，y～δ，u～U∞ 在包含边界层的δ×L区域，考虑连续性方程
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流
第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算
(7-2-12 )
dp p dx x
7-2 边界层分析
与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处， 边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即
将方程(7-2-14 )代入方程(7-2-5)得
dp p dx x
(7-2-14)
u
u x
v
u y
1
dp dx
2u y 2
(7-2-15)
与η的关系是相同的，对于η的无
将速度用流函数φ表示：
u , v
y
x
(7-3-3)
则
u 1
U U y
(7-3-4)
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
引入前面定义的相似变量η，得到
令f
u ( ) U Uvx
，称无量纲流函数，则有了
Uvx
(Uvx)1 2 f ()
(7-3-5) (7-3-6)
(7-2-9)
7-2 边界层分析
从动量力程的数量级分析．考虑压力项与摩擦项平衡，如方程(7-
2-5) 有
p x
U 2
(7-2-10)
类似地，由方程(7-2-6)得
p y
v 2
(7-2-11)
现考虑方程(7-2-9)的右侧第二项的数量级
(p x)(dy dx) v ( )2 1
p x
UL L
比较方程(7-2-7 )右侧两项，得到
u u v u 1 p (2u 2u ) x y x x2 y2
u
v x
v
v y
1
p x
2v ( x 2
2v y2 )
u T x
v T y
a(
2T x2
2T y2 )
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
7-2 边界层分析 图7-4 平壁上的速度边界层
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
引入无量纲速度
u U
和相似变量η：
u ()
U
相似变量η与坐标y 成正比，比例系数与x有关。令
( 7-3-1 )
y
(x)
y x
Rex1 2
y
U vx
u
(7-3-2)
可见，边界层内不同x处 U 量纲速度分布亦是相同的。
类似地分析可以得到边界层能量方程
u t v t a 2t
x y y2 (7-2-16)
式(7-l-1)、(7-2-15 )和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、
dp
v、t三个未知量，dx 可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微
分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。
7-2 边界层分析
域，δ <<L，对于粘性力项，与 y2相比， 是x方向的动量方程即式(7-l-2 )简化为