常见的几种三角函数求值题型
广水一中 李忠升 2011-1-5
（1）、b x a y +=s i n (或b x a y +=cos )型 基本思路：利用1sin ≤x (或1cos ≤x )即可求解，但必须注意字母a 的符号对最值的影响。

例2：求函数b x a y +=sin ()0≤a 的最大值。

解：由于1sin ≤x ，所以1sin 1≤≤-x ，且0≤a ，从而函数b x a y +=sin ()0≤a 的最大值为b a +-。

（2）、c x b x a y ++=s i n s i n 2(或c x x y ++=cos cos 2)型
基本思路：可令x t sin =(或x t cos =) 1≤t 化归为闭区间上的二次函数的最值问题。

例3：求函数3cos 2sin 2-+=x x y 的值域。

分析：此类题目可以转化为c x x y ++=cos cos 2型的三角函数的最值问题。

解：由于3cos 2sin 2-+=x x y
3cos 2cos 12-+-=x x
2cos 2cos 2-+-=x x ，
令x t cos = 1≤t 则原式转化为：222-+-=t t y 1≤t
对上式配方得：1)1(2---=t y 1≤t
从而当1-=t 时，5min -=y ；当1=t 时，1max -=y 。

∴所求函数的值域为[]1,5--。

(3)、d x c b x a y ++=cos sin (或d
x c b x a y ++=sin cos )型 基本思路：可化归为)()sin(y g x =+ϕ去处理；或用万能公式换元后利用判别式法去处理，特别c a =时，还可以利用数形结合法去处理。

例4:求3
cos 2sin +-=x x y 的值域。

分析：此题我们采用化归为)()sin(y g x =+ϕ去处理。

解：由3
cos 2sin +-=x x y 得：y x x y 32sin cos --=-， y x y 32)sin(12--=++ϕ，
132)sin(2++-=+∴y y
x ϕ 又由于1|132||)sin(|2≤++=+y y
x ϕ 解得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈433,4
33y 。

(4)、含有x x x x cos sin ,cos sin ±的函数最值问题 基本思路：可令2,cos sin ≤±=t x x t ，将x x cos sin 转化为t 的关系式，从而化归为二次函数的最值问题。

例5:求函数)1)(cos 1(sin ++=x x y 的值域。

分析：由于上式展开后为：1cos sin cos sin +++=x x x x y 恰好为上述形式的三角函数的最值问题。

所以可令2,cos sin ≤+=t x x t 去求解。

解：由)1)(cos 1(sin ++=x x y 展开得：1cos sin cos sin +++=x x x x y ， 设2,cos sin ≤+=t x x t ，则2
1cos sin 2-=t x x ， 此时：22)1(2
1212+=++=t t t y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∈∴2223,0y 。

(5)、含参数型的三角函数的最值问题
基本思路：需要对参数进行讨论。

例6:求函数b x a y +=sin 的最大值。

分析：由于a 的符号不确定，所以要对参数a 的符号加以讨论。

解：由于1sin ≤x ，所以1sin 1≤≤-x ，
当0≥a 时，函数b x a y +=sin ()0≤a 的最大值为b a +； 当0<a 时，函数b x a y +=sin ()0≤a 的最大值为b a +-。