一维非线性振动的数值求解
高雁军1吴少平2
(1．湖北民族学院物理系，恩施，445000；2．华中师范大学物理系，武汉，430079)
摘要利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，所得到的结果与用解析方法得到的结果完全一致，验证了四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度。
在此基础上，数值求解了在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。
关键词振动；非线性；龙格－库塔方法
振动是一种很常见的物理现象。
在线性振动理论中，研究的是系统在平衡位置附近的微小振动，它的特点之一是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化。
振动的例子有很多，比如，钟摆的摆动，活塞的往复运动，固体中原子的振动，交流电路中的电流在某一电流值附近作周期性的变化等，所以振动问题具有很重要、很广泛的应用。
在普通物理中讲的振动都是线性的，对于这种振动，从物理上说，非线性效应还不明显，从数学上说，振动方程中
的非线性项被忽略掉了，因而振动方程求解起来也比较容易。
但严格地说，物质世界没有真正的线性振动，它只是非线性振动的近似。
如果某一物理量对平衡位置有较大偏离，在处理这类振动问题时，就必须考虑非线性项的作用，从而会产生新的物理现象，因此非线性振动有重要的理论和实际意义。
不过，除了少数可以精确求解的非线性方程外，对于非线性问题，在数学上要得到解析解，也只能采取一些近似的、特别的方法(如摄动法、平均法、多尺度法、KMB法等)，还缺乏一种普遍的、行之有效的解析方法。
随着计算机技术的飞速发展和人们对数值计算方法的深入研究，数值方法作为一种重要的手段日益受到人们的重视，数值计算也被应用到非线性振动的研究中来。
对于常微分方程的初值问题，数值方法的基本思想就是离散化，即将求解区域分成各离散点，然后直接求出各离散点上的、满足精度要求的未知函数的近似值。
求解常微分方程的初值问题的数值方法有：欧拉方法、龙格－库塔法、阿达姆斯法等，其中四阶龙格－库塔法具有计算稳定、精度高的特点。
本文中，采用四阶龙格－库塔方法求解了一维阻尼振动方程和在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。
1．四阶龙格－库塔公式
设二阶微分方程的初值问题为
⎩⎨⎧===0000')(',)()
',,(''x t x x t x x x t f x
若令000')(','y x t x y x ===，则以上二阶微分方程可化为一阶
微分方程组 ⎩⎨⎧====0000)(,')(),,,('x t x y x y t y y x t f y
利用一阶微分方程组的龙格－库塔法，可以得到原二
阶微分方
程的解
用上述公式可以计算各种情况下振动的解。
2． 一维阻尼振动的数值解
一维阻尼振动的运动方程为 0'2''20=++x x x ωμ )0(>μ。
这个方程的解可以用解析方法得到。
为了检验四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度，在这里我们用解析方法和数值方法求解了一维阻尼振动，并将它们的结果进行了比较，见图1。
由图可见，随着时间的增长，由于阻尼的作用，振动最终停止下来，显然这一结果是合理的。
另外，数值解与解析解完全一致，说明了四阶龙格－库塔方法是可靠的，并且具有很高的精度。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=++++=+++==++6/)(6/)22()
,,()2/,4/2/,2/()2/,2/,2/(),,(32121432113224212312
1k k k h hy x x k k k k h y y hk y k h hy x h t f k hk y k h hy x h t f k hk y hy x h t f k y x t f k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
图1 一维阻尼振动的解 (实线为数值结果，虚线为解
析结果)
3． 达芬方程的数值解
在一维阻尼振动方程基础上，考虑系统还有一个与位移的立方成正比的恢复力320x εβ
-(0β为正的常量，ε<<1)。
这样，振动方程实际上是一个非线性方程。
运动方程为 0'2''32020=+++x x x x εβωμ。
采用四阶龙格－库塔
公式，求解了这一方程，结果见图2。
图2 达芬方程的数值解
(实线为达芬方程的数值解，虚线为不考虑恢复力
32
0x εβ-时方程的解)
由图2可以发现，与一维阻尼方程的解相比，在达芬方程中，由于考虑了非线性项的作用，振动出现了某种程度的恢复。
但因为存在阻尼，振幅慢慢减小，恢复力320x εβ
-也随着振幅的减小而减小，所以振动最后还是停止下来。
4． 范德堡方程的数值解
运动方程为 0')1(''2=++-+x x x x ε。
这个方程是范德堡在研究电子管振荡器电路时导出的方程，工程中许多实际的自激振动问题可以用范德堡方程来描述。
对于范德堡方程，可以用近似解析方法去求解，比如KBM 方法。
但用这种方法时，要求方程中的ε充分小，且要求振幅和频率缓慢变化，所以，在这里我们用具有高精度的数值方法去求解方程，而对方程中的参数没有限制条件。
图3 范德堡方程的数值解
图4 自激振动的相图
由图3可以发现，系统的振幅变化较小，即系统基本维持等振幅运动，这正是自激振动的特征，说明这类系统以自己的运动状态作为调节器，以控制能量的输入，当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统可维持等幅振动。
另外，从自激振动的相图(见图4)可以看出，系统从初始状态(即相点x=2.0,y=0.0)
出发向一条闭合曲线运动，这条闭合曲线即为相平面
的极限环。
这一极限环是稳定的，只有稳定的极限环才是物理上可实现的自激振动。
5．结论
本文利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，结果表明四阶龙格－库塔方法具有较高的精度，由此方法得到的结果是可靠和有效的。
对于达芬方程，由于考虑了与位移的立方成正比的恢复力的作用，振动出现了某种程度的恢复。
对于自激系统，当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统可维持等幅振动。
通过达芬方程和范德堡方程这两类比较典型的非线性方程的数值求解，可以看到，对于非线性方程的求解，数值方法是一种行之有效的方法。
参考文献
1．刘延柱，陈文良，陈立群. 振动力学北京：高等教育出版社，1998
2．徐士良. 计算机常用算法北京：清华大学出版社，1995
3．施吉林，刘淑珍，陈桂芝. 计算机数值方法北京：高等教育出版社，1999
Numerical solution of one-dimension nonlinear
vibration
Gao Yanjun1 Wu Shaoping2
1. Department of Physics, Hubei Institute for
Nationalities, Ensi 430079
2. Department of Physics, Huazhong Normal University,
Wuhan 430079
Abstract
The one-dimension damped vibration is resolved by using 4-order Runge-Kutta method. The numerical result is the same with the analytic result which shows the Runge-Kutta method has high precision and is valid. Some nonlinear equations, such as Duffing equation, Van der pol equation, are also resolved by the same numerical method. The result shows the vibration can be renewed in some degree because of renewing force. For the self-excited vibration, the system can keep vibration of equivalent amplitude if the importing energy is balanced by the dissipating energy.
Key words:vibration; nonlinearity; Runge-Kutta method。