1
x
F F0 cos t
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Phase modulation
x
stiffness increase

x
1 0.8 0.6
F F0 cos t
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
非线性振动的近似解析方法
4
c1 2 t X e c2
m1 0 0 m 2
c1 2 t k1 k2 k2 c1 t c e k c e 0 k2 2 2 2
k2 c1 c 0 k2 2
K s /( K s 1 '2 ) ( K s e '2 ) /( K s 1 '2 )
em 2
2
m

2
m



2
m
em
2






Phase modulation/ stiffness increase x
2 k1 k2 m12 c22 c21 k2
k2 c21 c 0 k2 22
6
振型：
1 c11 C c11 2 c12 (k1 k2 m11 ) / k2
1
第一阶振型
1 C 2 (k1 k2 m12 )k2
kr
cr
m e
cs ks

kr

Or
cr
Os

Where P is the elastic potential energy-a piece wisely differentiable
cs ks
Three Elements Amplitude, Frequency and Phase (difference)
f s ' e ' cos( ) 0
2 2
em 2
f s 1 ' e '2 sin( ) 0
0 e ' / (1 ' ) (1 ')
2 2 2 2
2
m



定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定 性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对
象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不
能获得系统的频率、振幅等基本参数。 只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性 系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。
1
1 C 2 (k1 k2 m12 )k2
2
8
例：已知质量m, 杆长l, 求系统运动方程
o
系统的动能和势能 1 1 2 2 1 T ( ml ) ; V mgl (1 cos ) 2 3 2

2 l g sin 0 3
非线性运动形式通常无法用 初等函数表示 非线性振动仍然可以用周期、振幅、 相位等来刻画, 方法?
5


4 3 2 1 0
K 18



1000
2000
3000

4000
5000
6000
7000
Phase modulation
stiffness increase: Phase-frequency
3.5 3
em 2
2
m
2.5 2 1.5 1 0.5 0 800
2 r ( g sin a0 cos sin 0t )sin 0
x a sin 0t
线性化？
14
分段线性
The motion equation
P mx cx em 2 cos x P my cy em 2 sin y
k2 c11 c 0 k2 12
k1 k2 m112 c12 c11 k2
c11 满足上述方程的 特征向量 c12
2 m1 0 k1 k2 2 k 0 m2 2
m1 0 2 k1 k2 k 2 0 m2
上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零
M2 K 0
特征根—纯虚根
特征方程
2 2 1 12 2 2 2
5

2 1
2 1

2 2
2 2
2 m1 0 k1 k2 1 k 0 m2 2

2 l g sin 0 3 2 l g 0 线性化 3
2 l g 0 3
13
线性与非线性的联系
周期系数非线性
例：当基座周期运动时，求系统运动方程 解：系统的动能和势能


1 T m[ x 2 2cos r sin x (r ) 2 ]; 2 V mgr sin cos
k1
l1 st 1
1 2 1 2 V k1 x1 k 2 ( x2 x1 ) 2 2
m1
k2
x1
l2 st 2
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 x m2 2 k2 x1 k2 x2 x
x1 c1e t ; x2 c2 e t ?
f ( x, x) F (t ) x
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
x(t ) a0 a1n cos(n t ) a2 n sin(n t )
n 1

非线性振动的近似解析方法 将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
em 2
x 2T / m cos y 2T / m sin

m
x2 y 2
2




V F cos( ) c 2T / m F cos c 2T / m

Or ,0
Stiffness increase

Mechanism on stiffness increase
Phase difference 0-π/2
em 2
[ K s e '2 cos( )]/( K s 1 '2 ) sin( ) [ K s ( 1) 1 ']/ e '2




1000
1200
1400
1600
1800
2000
Phase modulation stiffness increase: Phase-frequency
em 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
K 18
K 30
K 45
2
m



sin( )
3
m2
x2
x1 c1 t x c e 2 2
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 x m2 2 k2 x1 k2 x2 x
m 1 0 k1 k2 k2 x1 M ; K k ; X x k2 0 m2 2 2
x1 X x 2
x m1 0 1 k1 k2 k2 x1 0 m k x 0 k2 2 2 x2 2
MX KX 0
X
x1 c1 t x c e 2 2
11
线性情况
x
1 1 2 2 mx kx c 2 2
c
c1
x0

2
k t m
2
0
x
x0
dx x dx x
x x C
相点沿相轨迹 匀速圆周运动
量纲看物理概念
无量纲概括一般规律
12
例：已知质量m, 杆长l, 求系统运动方程
o
解：系统的动能和势能 1 1 2 2 1 T ( ml ) ; V mgl (1 cos ) 2 3 2
P mx cx em 2 cos x P cy my em 2 sin y
cs ks
kr
cr
m e

kr

Or
cr
Os

Vibrating System
Driving System
cs
ks
Phase difference and vibration energy
2
第二阶振型
方程的解
x1 X a11C 1ei1t a12C 1e i1t x2 a21C 2 ei2t a22C 2 e i2t
7
线性系统具有‘特征’
M2 K 0
1 c11 C c12 (k1 k2 m112 ) / k2
0