F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1


2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
n D t xn1 xn x n D t 或 x n1 x n n D t vn1 vn v x
第5章 非线性振动 在有了t 瞬时的位移 分方程
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
n 后，由满足 t 瞬时的微 xn 和速度 x
n c x n k xn f n m x
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
2
d g sin 2 dt l
2

N
l
m
则上式变为
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
• 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目 将多于系统的自由度
(6) 存在多个简谐激振力作用下的组合振动
(7) 存在频率俘获现象
• 在非线性振动系统 中，当系统以 1 振动，受到另一 2 激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获
（8）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动
得到 t 瞬时的加速度：
n ( f n c x n k xn ) / m x
由以下两式得到 t ＋D t 瞬时的速度和位移：
n D t xn1 xn x n1 x n n D t x x
0 后，就可以获得任何 依此类推，给定初值 x 0 和 x 瞬时系统的运动速度和位移。位移截断误差为0(D t2 )。
2 2 2 d 2 x x ( ) d x d x d x d ( x1 + x2 ) 1 2 = 1 + + 2? 1 dt dt dt dt dt
2
2 dx2 dt
(3) 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存 在跳跃和滞后现象 在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的 幅频特性的曲线有反向弯曲。
d 2 g 当 很小， sin 2 dt l 2 d g 线性近似： (sin ) 2 dt l
O

N
l
m
若 为任意值， (sin ) 而 sin(1 2 ) sin 1 sin 2
A
故自由单摆为非线性振动系统：
O
令
d ，以及 t 0, 0 , 0 ， dt
摄动法
讨论带小参数的单自由度非自治系统：
x F (t ) f ( x, x ) x
2 0
其中，为与变量 x，t 无关的常数。当充分小时，系统为 弱非线性系统， 称作小参数。 当 = 0 时，上述系统退化为一个派生系统
2 x 0 x F (t )
设派生系统的周期解为 x0 (t) ，当观测到原系统也存 在周期解时，可以在派生系统周期解的基础上加以修正构 成原系统的周期解x (t，) ，并展开为 的幂级数
很多问题无法进行理论上的分析；
另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的 提高使得数值分析成为可能。
第5章 非线性振动
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
常用的数值分析方法
非线性振动的数值方法是把非线性方程化为对每一时间 步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克 （Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、Runge－Kutta法等。 纽马克（Newmark）法 梯形法 最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响 应展成泰勒级数，并只保留一阶导数。即关于 t ＋D t 瞬时的 速度和位移均可由前一步 t 瞬时的速度和位移来表示：
一、任意摆角情况下单摆的运动
f ( x1 ) f ( x2 ) 则 f ( x) 是线性的； 若 g ( x) 为非线性，则 A g ( x1 x2 ) g ( x1 ) g ( x2 )
★自由单摆的运动方程：
线性系统（数学定义）： 若 f ( x ) 满足 f ( x1 x2 )
第5章 非线性振动
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
欧拉法的几何意义是用折线代替曲线，计算精度较低，一 般只用于起步或与其它方法配合使用。
高斯对欧拉法进行了改进，用t 瞬时和 t ＋D t 瞬时的平均 速度代替欧拉法中t 瞬时的速度，即：
xn1 xn 1 2 ( xn xn 1 ) D t n1 x n 1 x 2 ( xn xn 1 ) D t
策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F ( x , x2 , x3 ,v ,v 2 ,v 3 )
线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
非线性振动方程的一般形式
线性振动方程 非线性振动方程
cx kx f (t ) m x
, x , x) f c ( , x , x) f k ( , x , x) f ( , x , x, t ) f m ( x x x x
将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力 一起代入动力学方程中，整理各阶谐波的系数，令相同
谐波分量的系数相等，就可以得到级数形式解中各个待
定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组：
[ D] {a} { f }
解线性代数方程组，得到方程级数解的系数。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
2
0= ，0= 0，则其解为
g 2 cos l 2
O
A
d 0 在最高点 = ， = 0， dt
运动分析：

N
l
m
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况： a. 停留在该顶点，尔后径直下落； b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
f ( x, x ) F (t ) x
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
x(t ) a0 a1n cos(n t ) a2 n sin(n t )
n 1

第5章 非线性振动

5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：
第5章 非线性振动 纽马克法的积分格式：
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
n1 x n ( 1 ) n D t n 1D t x x x
2 2 1 xn1 xn xn D t ( 2 ) xn D t xn 1 D t
第5章 非线性振动
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在 时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。