第4节 平行关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行. (2)判定定理与性质定理2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫作平行平面. (2)判定定理与性质定理[常用结论与微点提醒] 1.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2.线线、线面、面面平行间的转化诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a ∥平面α，P ∈α，则过点P 且平行于直线a 的直线有无数条.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) 解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于a 的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材习题改编)下列命题中正确的是( )A.若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B.若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b α，则b ∥α 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D. 答案 D3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.当α∥β时，由m α可知，m∥β.∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2018·西安模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.m∥α，n∥α，则m∥nB.m∥n，m∥α，则n∥αC.m⊥α，m⊥β，则α∥βD.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n α，B 不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错.答案 CB1C1D1中，E为DD15.(教材练习改编)如图，正方体ABCD－A的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1 平面ACE，EO 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】(1)(2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)(2018·安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1，则下面说法正确的是________(填序号).①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.解析(1)①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN 面APC，所以MN∥面APC是错误的.对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN 平面APC，C1Q 平面APC.所以C1Q∥面APC是正确的.对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.对于④，由①知MN 面APC，又MN 面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的.答案(1)B(2)②③规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ，n α，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 (1)若m ，n α，α∥β，则m ∥β且n ∥β；反之若m ，n α，m ∥β且n ∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件.(2)当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 (1)A (2)②③④考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究) 命题角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点. (1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT 平面PAB ，MN 平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453. 命题角度2 直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】 (2018·宜春质检)如图，五面体ABCDE ，四边形ABDE是矩形，△ABC 是正三角形，AB ＝1，AE ＝2，F 是线段BC 上一点，直线BC 与平面ABD 所成角为30°，CE ∥平面ADF . (1)试确定F 的位置； (2)求三棱锥A －CDF 的体积.解 (1)连接BE 交AD 于点O ，连接OF ，∵CE ∥平面ADF ，CE 平面BEC ，平面ADF ∩平面BEC ＝OF ， ∴CE ∥OF .∵O 是BE 的中点，∴F 是BC 的中点.(2)∵BC 与平面ABD 所成角为30°，BC ＝AB ＝1， ∴C 到平面ABD 的距离为h ＝BC ·sin 30°＝12. ∵AE ＝2，∴V A －CDF ＝V F －ACD ＝12V B －ACD ＝12V C －ABD ＝12×13×12×1×2×12＝112.规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB 平面ABC，EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC 平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD 平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB 平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC 平面ABC，∴AD⊥AC.考点三面面平行的判定与性质(典例迁移)B1C1中，E，【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－AF，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，∴A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移探究1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B 平面A1BD1，DM 平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【迁移探究2】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC 的值.解 连接A1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DCAD ，∴DC AD ＝1，即ADDC ＝1.规律方法 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】 (2018·东北三省四校联考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点.(1)若线段AC 上存在点D 满足平面DEF ∥平面ABC 1，试确定点D 的位置，并说明理由； (2)证明：EF ⊥A 1C .(1)解 点D 是AC 的中点，理由如下：∵平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC ∩平面DEF ＝DE ，平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， ∴AB ∥DE ，∵在△ABC中，E是BC的中点，∴D是AC的中点.(2)证明∵三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1，∴四边形A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1.∵AA1⊥底面ABC，AB 平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵A1C 平面AA1C1C，∴AB⊥A1C.又AB∩AC1＝A，从而A1C⊥平面ABC1，又BC1 平面ABC1，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别是BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，从而EF⊥A1C.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·安康模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 AB1C1中，过A1B12.(2018·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB 平面ABC，A1B1 平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE ∥AB.答案 B3.(2018·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()A.a α，若b∥a，则b∥αB.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥βC.a⊥b，b⊥c，则a∥cD.a∩b＝A，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β解析选项A中，b α或b∥α，不正确.B中b与β可能斜交，B错误.C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误.利用面面平行的判定定理，易知D正确.答案 D4.(2018·合肥模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.答案 C5.(2018·吉安模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A.l α，m α，且l∥β，m∥βB.l α，m β，且l∥mC.l⊥α，m⊥β，且l∥mD.l∥α，m∥β，且l∥m解析借助如图所示的长方体模型，可以判定选项A，B，D不一定推出α∥β.对于选项C，由l⊥α，l∥m，得m⊥α，又m⊥β，从而α∥β.答案 C二、填空题6.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.可以填入的条件有________.解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.答案①或③7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝ 2.答案 28.(2018·郑州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.答案②三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH 平面ACH，BE 平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10.(2018·张家口检测)如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点.(1)证明：DF ∥平面PBE ；(2)求点F 到平面PBE 的距离.(1)证明 取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG .又DF 平面PBE ，EG 平面PBE ，故DF ∥平面PBE .(2)解 由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ，连接BD .∵V D －PBE ＝V P －BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23，∴S △PBE ＝12×23×（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝ 6. 又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63，即点F 到平面PBE 的距离为63.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n 不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.答案 D12.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.解析设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案 113.(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，图①如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB 平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.图②在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.。