A
P
B
C
E
D
一：线面平行的证明方法：
1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线）
看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。

2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行）
例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，
60BAD ∠= ，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120
得到PBD ∆，M 是PC 的中点．
（1）求证：//PA 平面MBD ；
（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．
例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是
60=∠A 、
边
长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是
棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ；
（3）求点A 到平面PMB 的距离．
例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，
上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．
二：线面垂直的证明方法：
通过线线垂直，证明线面垂直
1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂
直等；
3） 通过线面垂直，反推线线垂直；
4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。

例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点.
(1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积.
C
例五：如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥
， 3,
1===AB AD PA ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

求证：AF PE ⊥
例六：如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7=
=CD BC ，点E 为线段AD 上
的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB .
(Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；
(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求直线PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.
三：线面角AB 与面α的求法：
1、 先确定斜线与平面，找到线面的交点A 为斜足；
2、 找线在面外的一点B ，过点B 向平面α做垂线，确定垂足O ；
3、 连结斜足与垂足为斜线AB 在面α上的投影；
4、 投影AO 与斜线AB 之间的夹角为线面角。

以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：
1） 线在面外的一点B 与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线； 2） 题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B 直接做此垂线的平行线； 3） 过线在面外的一点B 做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB ⊥面α（这
两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B 且与α垂直的平面）。

例七：如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PD=CD=2.
（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
（II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；
A
B
C
D P
E
F
A B C D
E G
F （III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

例八：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
平行四边形，0
45ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC
PO ⊥平面ABCD ，2PO =，
M 为PD
中点．
（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC
；
（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
四、二面角A-BC-D 的求法：
1、先确定两个平面，面ABC 及面BCD 和其两面的交线BC ，根据题意过点A 或点D 作交O 线BC 的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC 时，或者在直角三角形中作垂线∠BAC=900时，应该过点A 作BC 垂线）；
2、1)反连OD ，证明OD ⊥BC ；2）若OD 不垂直于BC ，看面BCD 内是否有与
交线BC 垂直的直线，若有直线l ⊥BC 则直接过点O 作l 的平行线； 3、若两个平面上没有对应的等腰三角形则看两平面是否有垂直于交线BC 的直线 若有可将两垂线平移至相交直线，求其夹角。

或者过点A 作两垂直平面交线的的 垂线，利用三垂线定理证明。

例十：已知三棱锥S-ABC, ∠ASC=90度，∠ASC=∠BSC=60度，且AS=BS=CS=2 求二面角B-AS-C 的正弦值。

例十一：如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，
AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ,且2====DG DE AD AB ,1==EF AC ．
（Ⅰ）求证： BF ∥平面ACGD ； （Ⅱ）求二面角A EG D --的正切值；
例十二：如图，四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，P 为BC 边的中点，SB
与平面ABCD 所成的角为
45，且AD=2，SA=1。

（1）求证：PD ⊥平面SAP ；
（2）求二面角A-SD-P 的余弦的大小；
A
B
C S。