第五章面积与最值5.1三角形的面积表达面积的一些常见表达：22),0,2()0(1:20122222离心率的一个顶点为北京文】已知椭圆【A b a b y a x C >>=+.,)1(N M C x k y 交于不同的两点与椭圆直线-=的方程；求椭圆C )1(.310)2(的值时，求的面积为当△k AMN 形，轴正半轴围成一个三角轴正半轴，的切线与辽宁文】圆【y x y x 4201422=+.P ，切点为当该三角形面积最小时点的坐标求P )1(的两点，若△交于，且与直线过点轴上的椭圆焦点在PAB B A x y l P C x ,3:)2(+=.2的标准方程，求面积为C),(),,(2211y x B y x A ②设,2121y y OP S P x AB ABO -=△时，轴上定点过当直线.2121x x OP S P y AB ABO -=△时，轴上定点过当直线铅锤高水平宽三角形面积⨯⨯=21要掌握推导过程，否则你会用错的.离心率为的左焦点为四川文】已知椭圆【),0,2()0(1:20142222->>=+F b a b y a x C .36的标准方程；求椭圆C )1(，当的垂线交椭圆于作上一点，过为直线为坐标原点，设Q P TF F x T O ,3)2(-=.的面积边形是平行四边形时，求四四边形OPTQ OPTQ 对角线长度乘积的一半边形，面积③对角线互相垂直的四=，且知椭圆上为第三象限内一点且在设北京文】椭圆【)0,2(A , P ,14201622=+y x的面积为求证：四边形轴于点交直线轴于点交直线ABNM N x PB M y PA B ,,),1,0(.定值段长度的比值：④面积的比值转化为线分别两点，直线交抛物线于的直线焦点已知过抛物线例BO AO B A l F x y C ,,4::2=N M BA x k x k x k x k ON OM OB OA MONON OM AOB OB OA S S 22212221211111sin 21sin 21++++==∠∠=思路：面积之比的斜率，中间使用了距与直线分别为直线与其中OB OA k k x x x x x x B A NM B A 21(4==)离公式转化为坐标表达的斜率之与是动点，且直线对称，关于原点与点北京】点【BP AP P O A B )1,1(2010-31-积为的轨迹方程；求动点P )1(与使得△问：是否存在点交于点分别与直线和设直线PAB P N M x BP AP ,,3)2(=的坐标求出点的面积相等，若存在，△P PMN 22222123)0(12012C x b a b y a x C 轴被曲线，的离心率为：湖南理】如图，椭圆【>>=+.:12的长半轴长截得的线段长等于C b x y -=的方程；求21,)1(C C 分直线相交于点与的直线过坐标原点轴的交点为与设MB MA B A C l O M y C ,,,,)2(22E D C ,1相交于点别与MEMD ⊥①证明：?3217,.,,2121=S S l S S MDE MAB 使得问：是否存在直线的面积分别是△②记△：⑤借助几何分析求面积EBCABC S S AD E BC D ABC △△的中点，则为上一点，为中举个例子：如图，△2,=求面积有时候需要借助几何知识做转化，比如本案例线段成比例分割，面积表达就可以相互转化；又比如相似三角形面积比等于相似比的平方；又比如同底等高的三角形面积相等...OPQ OMP ,1)0,2(22与△两点，若△于：作直线交圆例：过点Q P y x O M =+-的斜率面积相等，求直线l 于轴的垂线交椭圆作轴上一点，过为点北京文】已知椭圆【C x D x D y x ,14201722=+的面积与△，求证：△于点的垂线交作过不同的两点BDN BDE E BN AM ,,D N M 54：之比为),,((t m M M D 以设点的坐标表示不全。

所，因为点的坐标是不太合适的提示：设),0,(),,(m D t m N -则)54,=D E y y 所以要证明高之比，即底的注意到两个三角形是同的为抛物线上，：的三个顶点都在抛物线浙江文】已知△【C F y x C ABP 420142=.3FM PF AB M =的中点，为焦点，点的坐标；求点若M PF ,3)1(=.)2(面积的最大值求△ABP Cb a b y a x 在椭圆，且点的离心率为山东文】已知椭圆【)213(23)0(120152222>>=+.上的方程；求椭圆C )1(交椭圆的直线上任意一点，过点为椭圆设椭圆m kx y P C P b y a x E +==+,144:)2(2222Q E PO B A E 于点交椭圆两点，射线于,的值；①求OPOQ .面积的最大值②求△ABQ5.2求最值之变量化一点到点的距离最值41)1()1(,14),,(2202202202000xx y x PMy x y x P -+-=+-==+则有解析：设_____________________________=点到线的距离最值_______08342距离的最小值为上的点到直线例：抛物线=-+-=y x x y 思考有哪些方法？上点在曲线上，点在直线新课标理】已知【241:3),1,0(20112-=-=-x y C M y B A ..,)2(距离的最小值点到处的切线，求在为上的动点为l O P C l C P 斜率的最值.2321)(,(41,21(,20172是该抛物线上的点点点浙江】已知抛物线【<<--=x y x P A y x 斜率的取值范围求直线AP )1(21214121412-=+-=+-=x x x x y k AP 思路：总之上面的题都是一个想法:变量代换为一个，代换桥梁可以是曲线方程.也可以是从题目条件构建出的等式.这种想法也可以在其它题目中体现：.两点B 的最大值的函数，并求表示为将AB m AB )2(m ty x l +=：思路：设直线)(111122222之间的的等式与构建相切直线与圆t m t m t m y x +=⇔=+⇔=+)(1212用错弦长公式注意：反设直线很容易y y t AB -+=得与联立1422=++=y x m ty x 042)4(222=-+++m tmx y t 22222122122124)4(414)(11t m t t y y y y t y y t AB +-++=-++=-+=所以.3341222+=+=m m AB t m 代入得将这里涉及到一个问题，最值怎么求？5.3求最值之均值不等式求以下式子的最值428)8(8)1(22222=-+≤-=-=m m m m m m t ___________)38(331)38(33138)2( 22222≤-=-⋅=-=m m m m m m t 13232332332)3( 2=≤+=+=mm m m t 211211)1(11)4( 22222222222=+-++≤+-+=+-+=k m k m k m k m k m k m t 431)5(22++=m m t 11222-==+x m x m ，则设________131134)1(322=+=+=+-=xx x xx x t 上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值.144154)9(64)8(2)8(3414)7( 1)6(2424422222++++=++=++=+=k k k k t m m t m m t k k t 上述式子求最值可以通过分离常数法实现11414134143414)7(22222+-=++=++=m m m m m t ____________,41143111011222∈<+-≤⇔≤+<⇔≥+t m m m所以.面积的最大值△AOB 的距离为原点到解析：设直线AB ),,(),,(A ,2211h y x B y x m kx y +=212212211121·21x x m k m x x k h AB S -=+-+==面积0)1(48)41(1422222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y 得联立141241241)41(241)41(162122222222222=+-++≤+-+=+-+=k m k m k m k m k m k m S 时，等号成立当且仅当22412k m +=.两点，交椭圆于直线上一点练习：已知椭圆D B m x y A y x C ,22),1,2(124:22+==+的面积的最大值求：△ABD ABF B A P F x y 两点，则△的直线交抛物线与过点的焦点设抛物线练习,)0,2(,4:2=）（反设优化计算，面积的最小值为多少？0=t 是椭，的离心率为椭圆新课标】已知点【F b a by a x A 23)0(1),2,0(20142222>>=+-.332为坐标原点，的斜率为圆的右焦点，直线O AF .OPQ ,A )2()1(的方程的面积最大时，求两点，当△与椭圆相交于的动直线设过点求椭圆的方程；l Q P l 轴不重合，且与过点直线的圆心为理】设圆新课标【x B l A x y x )0,1(,01521201622=-++.,E AD AC B D C A l 于点的平行线交作两点，过于交圆.)1(的轨迹方程为定值，并写出点证明E EB EA +交于垂直的直线与圆且与两点，过于交直线的轨迹为曲线设点A l B N M C l C E ,,)2(11.,面积的取值范围两点，求四边形MPNQ Q P M y x b a by a x M 交右焦点的直线理】过椭圆新课标【03)0(1:220132222=-+>>=+.21,的斜率为的中点，且是两点，于OP AB P B A 的方程求M )1(面积的最大值求四边形的对角线若四边形上两点为ACBD AB CD ACBD M D C ,,,)2(⊥，其短轴的两个端点与的焦距为四川理】已知椭圆【4)0(1:20142222>>=+b a by a x C .三角形长轴的一个端点构成正的标准方程；求椭圆C )1(的垂线交椭圆作上任意一点，过为直线的左焦点，为椭圆设TF F x T C F 3)2(-=.,Q P C 于点PQOT 平分线段①证明：.的坐标最小时，求点②当T PQ TF5.4求最值之借助导数,,,)0(4::20092222C B A r r y x M x y E 相交于）（与圆全国】已知抛物线【>=+-=.四个点D 的取值范围；求r )1(.)2(坐标的交点，面积最大时，求对角线四边形P BD AC ABCD .)4,215()1(不相等的正根，联立后的方程有两个解析：∈r ,(,(),,(),,(222221111x x D x x C x x B x x A --别为）设四个交点的坐标分（.0167)4(2222222=-+-=+-=r x x y r y x x y 得消去与圆联立抛物线)4,215(,16,722121∈-==+r r x x x x 由韦达定理：((22121122112x x x x x x x x S +-=+-⋅⋅=)154)(1627(2](4)[(222121212212--+=++-+=r t x x x x x x x x S 时有最值值得利用导数知识求函数最则令67),27()27(,16222=-+==-t t t S t r关于直线的左右焦点，：分别是椭圆】已知【湖南文212221,15,2013F F y x E F F =+.12的一条直径的两个端点的对称点是圆C y x =-+的方程；求圆C )1(最大时，求直线当所截得的弦长分别为和圆被椭圆的直线设过点ab b a C E l F .,)2(2.的方程l 1416201522=+y x C ：湖北】已知椭圆【l Q P y x l y x l l 若直线两点分别交于：和：与两定直线设动直线.,0202)2(21=+=-？的面积是否存在最小值试探究：△有且只有一个公共点，总与椭圆OPQ C。