Ⅰ复习提问一、直线l 及圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 及圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++=（1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 及C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 及双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 及曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 及曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 及曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p=x 。

Ⅱ 题型及方法一、直线及圆锥曲线的位置关系（1）直线及圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线及双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率及双曲线渐近线的斜率大小得到。

（2）直线及圆锥曲线只有一个公共点则直线及双曲线的一条渐近线平行，或直线及抛物线的对称轴平行，或直线及圆锥曲线相切。

例1.已知两点5(1,)4M ，5(4,)4N --，给出下列曲线方程：①4210x y +-=②22+y =3x ③2212x y += ④2212x y -=在曲线上存在点P ，满足PM PN =的所有曲线方程是 （填序号）。

练1:对于抛物线C ：24y x =，我们称满足2004y x <的点M （00,x y ）在抛物线的内部，若点M （00,x y ）在抛物线的内部，则直线l ：002()y y x x =+及抛物线C 的位置关系是 。

练2：设抛物线28y x =的准线及x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 及抛物线有共点点，则直线l 的斜率的取值范围是例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）（c>0）任作一条直线，及抛物线2y x =相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别及线段AB 和直线l ：y=-c 交于P ，Q 两点。

（1）若2OA OB =，求c 的值；（2）若p 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。

练1：（12安徽理）如图所示，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过1F 作直线x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ，求证：直线PQ 及椭圆C 只有一个公共点。

练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy 中，点M 到点F （1,0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ，（1）求点M 的轨迹方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点P （-2，1）分别求直线l 及轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

二、中点弦问题例1：已知过点M （12，12）的直线l 及椭圆2212x y +=交于A ，B 两点，且1()2OM OA OB =+（O 为坐标原点），求直线l 的方程。

练1：（14江西理）过点M （1,1）作斜率为12-的直线及椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 中点，则椭圆C 的离心率等于 。

练2：已知椭圆方程2212x y +=。

（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l 及椭圆相交，求被l 截得的弦的中点的轨迹方程。

例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22142x y +=，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，求证：对任意k>0,都有PA ⊥PB 。

练1：已知曲线C ：2221(0,1)y x m m m+=>≠，过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意带你k>0,都有PQ ⊥PH ？ 若存在，求m 的值，不存在，说明理由。

例3已知椭圆C ：22143x y +=，试确定m 的范围，使得对于直线l ：y=4x+m ，椭圆C 上有两个不同的点关于这条直线对称。

练1：如图所示，已知椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率12e =，（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出，不存在，说明理由。

练2：已知A ，B ，C 是椭圆W ：2214x y +=上的三点，O 是坐标原点。

（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，说明理由。

3.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，右顶点A 在圆F ：222(1)(0)x y r r -+=>上。

（1）求椭圆C 和圆F 的方程。

（2）已知过点A 的直线l 及椭圆C 交于另一点B ，及圆F 交于另一点P ，请判断是否存在斜率不为0的直线l ，使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

二、弦长及面积问题。

在弦长有关的问题中，一般有三类问题： （1）弦长公式（2）及焦点相关的弦长计算，利用定义 （3）涉及面积的计算问题例1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为045的直线交抛物线于点A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则P 为多少？练1：已知椭圆C ：2212x y +=，过椭圆C 的左焦点F 且倾斜角为6π的直线l 及椭圆C 交于A ，B ，求弦长AB 。

练2：已知圆M ：227(3x y -+=，若椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为圆M 的圆心，。

（1）求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y kx =，若直线l 及椭圆C 分别交于A ，B 两点，及圆M 分别交于G ，H 两点（其中点G 在线段AB 上），且AG BH =，求k 的值。

例2：已知椭圆C ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。

（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率。

（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值。

练1已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ，其离心率为12（1）求椭圆C 的方程。

（2）设直线l ：y=kx+m 1()2k ≤及椭圆C 相交于A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平形四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围。

2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点A （2,0，O 为坐标原点。

（1）（1）求椭圆C 的方程。

（2）已知P 是（异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 垂线l 交椭圆C 于点E ，D 。

如图所示，求DE AP的取值范围。

例3：已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，AB 是过点1F 的一条动弦，求△AB 2F 的面积最大值。

练1：（14新课标理）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点。

（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 及E 相交于Ｐ，Ｑ两点，当 △ＯＰＱ面积最大时，求l 的方程。

例４：已知抛物线24y x =的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点。

（１）若2AF FB =，求直线ＡＢ的斜率；（２）设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的对称点Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值。

练１：（１２北京）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，椭圆Ｇ的中点为坐标原点，左焦点为1F （－１,０），Ｐ为椭圆Ｇ上顶点，且145o PFO ∠=。

（１）求椭圆Ｇ的标准方程（２）已知直线1l ：1y kx m =+及椭圆Ｇ交于Ａ，Ｂ两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）及椭圆Ｇ交于Ｃ，Ｄ两点，且AB CD =，如图所示，（１）求证：120m m += （２）求四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ的最大值。

2.(14年湖南理21)如图所示，O 为坐标原点，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b-=的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =241F F =。

（1）求1C ，2C 的方程 （2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 及2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值。

3.已知抛物线24x y =的焦点为F ，A,B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>。