AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
〃
O
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。 求证：AC＝BD。
D
7.2
B
R O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90

EAD 90

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A E
〃
O D B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过 O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m， 船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货 船能否顺利通过这座拱桥？
O A E D
650 OB ( mm ) 2 600 EB (mm ) 2
B OE OB EB
2 2
(2)
E
B O A
OE=125(mm)
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
4.过圆上一固定点可以作圆的最长弦有( A )条. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数条 5.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm, 7 则这个圆的半径是______cm.
B
. .A
O
C
1 2 6.图中有____条直径,____条非直径的弦,圆 2 4 中以A为一个端点的优弧有__条,劣弧有__条. 7.如图, ⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分 3 别在一直线上，图中弦的条数为_____。 8.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B, 24° 且AB=OC,则∠A=_______.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
你学会了吗？
一、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ 2cm 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B D
C
再来！你行吗？
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ ⌒ 的中点，CD 就是拱高． 解：因为
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 1 AB 37 .4 18 .7, 2 2 C
A
18.7
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
.O
N
夹在两条平行弦间的弧相等.
M A
.
B A C
O
O E
.
C A D B
.O
N
D B
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦 的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径 等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ ⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半
AB

⌒ ⑤ AD =BD.
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM= BM
可推得
⌒ ⌒ ④ AC =BC,
②CD⊥AB,
⌒ ⌒ =BD. ⑤ AD
讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦 所对的劣弧
（1） （3） （2） （4） （5） （1） （4） （2） （1） （3） （5） （5） （1） （3） （3） （4） （4）
C
A
M└
●
B
O
D
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O A E O B
3cm 那么圆心O到弦AB的距离是 2 。
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
A
E
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是
2 3cm 。
A
O E B
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｅ
Ｂ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｄ

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
⌒ ⌒ ④ AC =BC,
③AM=BM,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
⌒
⌒
⌒
⌒
〃
O
E
A D
⌒ 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ ⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
和
ＢＣ
⌒
B
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ 及 即ＡＥ＝ＢＥ
⌒
ＡＣＢ
⌒
C
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
⌒
⌒
⌒
⌒
〃
O
E D B
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
别忘记还有我哟！！
作业：
1、P82练习 1、2题 2、教材88页习题24.1 8、9 ； 3、练习册同步．
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
O
A C E D B
.
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
你能讲 解吗？
⌒ ⌒
你能有一句话概括一下吗？
M
C A D B
3、已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。 ∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
第6题
第7题
第8题
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
阅读课本P80-82，完成以下问题： 1.圆的垂径定理是什么？ 2.垂径定理的推论是什么？你能用一句话概括这 些推论吗？
第24章
圆
肇庆加美学校 吕少峥
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
3、填空： 圆周 曲 （1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”，是 线，而 不是“圆面”。 （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆 位置，半径决定圆的 大小 ，二者缺一不可。 的 （3）同一个圆的半径 相等 。
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA,OB,则OA=OB.
A
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM ∴△OAM≌△OBM. C ∴∠AMO= ∠ BMO. B ∴CD⊥AB M└ ∵⊙O关于直径CD对称, ●O ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, A└
●
B
O
D （2） （3） （4） （1） （4） （2） （5） （4）
（2）
（3）
（1）
（4） （5） （1）