（只有 X1 作用，支座转 角θ 对杆端A无影响）
2）力法的典型方程: 位移条件: BV 0 力法方程: 11 X1 1C 0
A 11 X1
24
3）求系数和自由项:
A F R1 l
B
A X1 1
B
X1 1
l
M图
1
M图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
l3 3EI
11
1 EI
1l 2
1
2 j X j
L
2nXn
2P
0,
M M M M L M L M M 0,
i M
i
1
X1 M
下i2三XM2角 i3MX3
L L
ij
Xj M
L
L
in
X
n M
iP M
0, 0,
n n1 X1 n2 X2 n3 X3 L ij X j L nn Xn nP 0。
θ
A
EI l
B
原结构
θ
A
EI l
B
基本体系I X1
（受X1及支座转角θ 共同作用）
θ
A
EI l
B
X1 基本体系II
（只有X1作用，支座转 角θ 对杆端A无影响） 23
解：
1）选两种不同的基本体系进行求解,如下图示:
θ
θ
A
EI l
BA
EI l
B
基本体系 I X1 X1 基本体系 II
（受 X1 及支座转角θ 共同作用）
B X1 1
14
2) 求未知力X1 :
X1
1P
/ 11
5FP l 3 48 EI
3 EI l3
5 16
FP
3) 作内力图:
3 16 FPl
M MX1 MP
A
11 16 FP
B
5 32 FPl5
16 FP
A
B
M图
FS 图
15
思考题:
如何计算?
A X1 EI FP B
l/2
l/2
A
EI FP B
27
例7-2-1 写出图示刚架的在支座发生移动时的力法方 程,并求出方程中的自由项ΔiC。
EI l C
EI l
A
b
原结构
a
解: 1）分别取两种不同的基本体系如下图示:
28
B
C
B
C
X2 X1
θ
A b
ΔCH = 0；
a
ΔCV = 0。
基本体系 I
X2 A
X1
b AH a;
θA = θ 。
基本体系 II
5
静定多跨梁
b)
X2
原结构 X2
X1 n=2
悬臂刚架
n=2 X1
X2
n=2 X1 简支刚架
6
c) 原结构
d)
原结构
X
X
1
2
X1
X 3 X 2 X 3 n=3 内部超静定
X2
X1
X
X
2
1
n=2
7
e) 原结构
f) 原结构
X1静定结构的多余约束全 X1 部拆除完。
n=3
X3
X2
8
9
§7-2 力法的基本原理
求解任何一个超静定结构，除应满足平衡条件 外，还必须满足位移协调条件。
一. 一次超静定结构的力法计算
1. 力法的基本体系和基本未知量
如下图示单跨超静定梁，去掉支座B的链杆，
用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。 去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法
作 M 图及 MP 图，求出力法方程的系数和自由 项，解方程求出力法未知量 X i ，然后根据下式求最 后内力为：
M( x) M1( x)X1 M2( x)X2 M3(x)X3 MP (x)
FS ( x) F S1( x)X1 FS2( x)X2 FS3(x)X3 FSP (x)
FN ( x) F N1( x)X1 F N2(x)X2 F N3(x)X3 FNP (x)
未知量 X i（ i 1, 2, 3,L , n）。
21
写成矩阵形式为:
主对角线:主系数(位移) ij (i j),正值。 自由项:任意值。
上三角
1 11 X1 12 X2 13 X3 L 1 j X j K 1n Xn 1P 0,
2
21 X1
22 X2
23 X3 L
2 3
l 3EI
1C FRKCK l
4）求未知力X1 :
X1
1C
/
11
l
3EI l3
3EI l2
(
)
X1
/ 11
3EI l
3EI ( )
l
25
5）作内力图:
A
BA
B
3EI l
M 图 3EI
l2
3EI l2
FS 图
3EI l2
在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示， 则力法方程成为：
即: 副系数(位移) ij ji (i j) ，任意值。
ij nn
Xi
n1
iP
n1
0 n1
22
三. 超静定结构在支座移动时的力法计算
超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解
力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超静 定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且 有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时力法 的解题思路。
31 X1 32 X2 33 X3 3P B 0。
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。
主系数：δ11，δ22，δ33 恒大于零,永远为正值。 副系数：δij ( i≠j ) 可能大于，等于或小于零。 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。
19
由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21，δ23= δ32， δ31= δ13。
i
i1X1 i2X2 i3X3 L
ij X j
L
in Xn
iP
0,
M
M
M
M L
M L
M M 0,
n n1 X1 n2 X2 n3 X3 L ij X j L nn Xn nP 0。
这是一个关于基本未知量X i的n元一次的线性方程组。
解此线性方程组，可求得n次超静定结构的基本
（ A =0） 基本体系
l/2
l/2
A
原结构（ A= 0）
B
基本结构
16
二. 多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未
知力 X i 分别作用下的位移图。
q
q
C
D
C
D
FP 原结构
A ΔBH = 0, B ΔBV = 0, θB = 0。
FP 基本体系
A ΔBH = X0,3 B ΔBV = 0, X1 θB = 0。X2
20
对于任意一个n次超静定结构，已知n个位移条 件时，其力法的一般（典型）方程为:
1 11 X1 12 X2 13 X3 L 1 j X j K 1n Xn 1P 0,
2
21 X1 22 X2 23 X3
L
2 j X j
L
2nXn
2P
0,
M M M M L M L M M 0,
1P —— 基本结构在FP 作用下沿X1方向的位移。
13
3. 力法计算 1) 求系数及自由项:
FP l 2A
FP MP 图
A B
l
l/2
M图
11
1 EI
1ll 2 l
2
3
l3 3EI
1P
1 EI
1 2
FP l 2
l (2 23
l
1 3
l) 2
1 FP l 2 5 l 5FP l 3 EI 8 6 48EI
3. 求方程中的系数和自由项: (i )作 M 1 图，M 2 图及 MP 图见下页图示。 下述弯矩图具有一个共同特征：弯矩图的局部化。
35
q
A ql 2 8
B
C
X1 1
A
B
C
1
X2 1
A
C
B
(ii)计算系数和自由项: 1
D MP 图 D M1 图 D
M2 图
11
2 EI
1 2
l
1
2 3
2l 3EI
如下图所示的单跨静定梁，若只满足平衡条件， 支座 B 处的竖向反力可以是任意值。
q
A
B
EI , l
3 ql
8
3
二. 结构的超静定次数的确定 结构的超静定次数n = 结构中多余约束的数目n 为了确定结构的超静定次数n：
通常使用的方法是拆除多余约束法 (或切断多余 联系法），即将原结构变成为静定结构所必须拆除（ 或切断）的多余约束（或联系）的总数目n。
17
C
D
δ31
A
B
δ21
δ11 X 1 1
C
D
C
D
δ32
A
B
δ22
X2 1
q
δ12
C
D
FP
δ33
A
δ23
B
δ13
X 1 3
A
Δ3P Δ1P
B Δ2P
18
力法方程为:
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0,
21 X1 22 X2 23 X3 2P BV 0,