《数学分析》教学大纲第一部分说明一、本课程的目的、任务。
本课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后续课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、理论力学等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，另一方面为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，为学生进一步深造以及指导中学数学的教学打下良好基础。
本课程的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。
并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
二、本课程的教学要求。
通过本课程的学习，使学生掌握极限理论、级数理论、微分理论及积分理论的基本概念和基本理论，熟练的掌握本课程所要求的基本计算方法和能力，基本的推理论证能力，抽象思维能力，逻辑思维能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力。
教学重点：准确掌握极限、连续、微分和积分的概念、性质及计算；熟练掌握微分理论、积分理论和级数理论中的基本定理（实数完备性定理、中值定理、微积分基本定理、函数项级数的收敛理论、隐函数定理、曲面及曲线的积分定理）；正确地应用这些基本定理解决数学、物理及其他方面的实际问题。
教学难点：主要集中在极限论和级数论的内容中。
训练设计方案：（1）布置课后作业注重锻炼学生的解题能力，适当布置思考题培养学生分析问题的能力和创新能力。
（2）指定问题课后讨论。
自学指导方案：（1）对下节课所讲内容作课前预习；（2）对部分章节的了解性的内容提出问题让学生自学并课上讨论；（3）指定课外参考书让学生阅读或让学生上网查阅相关资料加深对课程理解。
与其它课程的联系：为后续课程常微分方程，概率论与数理统计，偏微分方程，复变函数，计算方法，实变函数与泛函分析等提供理论基础和工具。
教学方法与手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，讲练结合法，问题提出法，课堂讨论法，多媒体辅助法。
教学配置条件：有相应与本课程有关的课外参考书及相应的教学软件，多媒体教室。
考试考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：平时作业、每章测试、课堂讨论与回答问题的表现等，占10%，期末考试：卷面成绩占90%，包括选择题、填空题、计算题、证明题及发散思维题。
实践环节与教学安排：本课程总学时为306，分四个学期授课。
其中习题课不宜少于60学时。
第一学期讲授教学内容中第一章到第五章；第二学期讲授教学内容中第六章到第十一章；第三学期讲授教学内容中第十二章到第十六章；第四学期讲授教学内容中第十七章到第二十二章。
教材：《数学分析》（上册、下册）华东师范大学数学系编(第三版)，高等教育出版社。
该教材是面向21世纪课程教材，该教材第二版获全国第一届高等学校优秀教材优秀奖。
参考书：[1] 刘玉琏编，《数学分析》（上册、下册）高等教育出版社[2] 北京大学数学系编，《数学分析析题集》北京大学出版社[3] 宋国柱任福贤许绍溥姜东平编著，《数学分析教程》（上、下册）南京大学出版社[4] 菲赫金哥尔茨著，《微积分学教程》，人民教育出版社，1957年4月第1版（1980年1月北京第3次印刷）[5] 陈传璋金福临朱学炎欧阳光中编，《数学分析》，高等教育出版社，1990年第二版．[6] 孙本旺、汪浩主编《数学分析中的典型例题和解题方法》[7] 吉米多维奇著《数学分析习题集》[8] 徐利治、王兴华著《数学分析的方法及例题选讲》[9] 裴礼文著《数学分析的典型问题与方法》三、教学时数分配：第二部分讲授大纲第一章实数集与函数教学要求：1.了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式，弄清区间和邻域的概念；2.掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；3.理解和掌握一些特殊类型的函数。
重点：区间和邻域的概念。
难点：确界原理。
第一节 实数一 实数及其性质(深度C) 实数的概念，实数的性质； 二 绝对值与不等式(深度C) 绝对值性质，常用不等式； 第二节 数集、确界原理 一 区间与邻域(深度A) 区间与邻域概念；二 有界集、确界原理(深度A) 有界集概念，确界概念，确界原理； 第三节 函数概念 一 函数的定义(深度B) 函数的定义；二 函数的表示法(深度C)函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数； 三 函数的运算(深度A) 四则运算，复合函数，反函数； 四 初等函数(深度A)基本初等函数概念，初等函数概念。
第三节 具有某些特性的函数(深度A)有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
作业：P4 3，P9 2,5，6,7，P15 6，P16 12，P21 1，第二章 数列极限教学要求：1.理解和掌握数列极限，无穷小量与无穷大量的概念； 2.掌握并能运用N -ε语言证明极限问题；3.掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；4.了解数列极限柯西准则。
重点：数列极限的概念 难点：数列极限的概念第一节 数列极限的概念(深度A) 数列极限的概念，无穷小数列概念 第二节 收敛数列的性质(深度A)性质(唯一性，有界性，保号性)，迫敛性法则，及四则运算； 第三节 数列极限的存在条件(深度A) 单调有界准则，柯西准则。
作业：P27 2,3，4,7，8， P33 1,3，4,5，6,7，P39 1,3，5,6，7,11，P40 3第三章 函数极限教学要求：1.理解和掌握函数极限的概念；2.掌握并能应用δε-语言处理极限问题；3.了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；4.掌握函数极限的性质和归结原则；5.熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。
6.无穷大量与无穷小量概念及阶的比较。
重点：函数极限的概念难点：两个重要极限，归结原则，柯西准则 第一节 函数极限的概念 一 ∞→x 时函数极限(深度A)+∞→x ，-∞→x ，∞→x 时函数极限的概念，+∞→x ，-∞→x ，∞→x 时函数极限关系；二0x x →时函数极限(深度A)0x x →时函数极限概念，单侧极限的概念，0x x →时函数极限与单侧极限的关系；第二节 函数极限的性质(深度A)唯一性，有界性，保号性，迫敛性法则，及四则运算； 第三节 函数极限存在的条件(深度A) 归结原则，柯西准则。
第四节 两个重要极限(深度A) 极限1sin lim0=→x x x ，e xx x =+∞→)11(lim 的证明，两个重要极限的应用；第五节 无穷大量与无穷小量 一 无穷小量(深度A)无穷小量概念，无穷小量运算，函数极限与无穷小量关系； 二 无穷小量阶的比较(深度A)无穷小量阶的比较，无穷小量阶的比较在求极限中的应用。
三 无穷大量(深度A)无穷大量概念，无穷大量与无穷小量关系； 四 曲线的渐近线(深度B)渐近线的概念，斜渐近线与垂直渐近线求法；作业：P47 1,2，6,7，P51 1,2，5,8，9，P55 2,3，P58 1,2，P66 2,4，5,8，P67 2,12,13第四章 函数的连续性教学要求：1.理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及其分类，连续函数的局部性质；2.理解单侧连续的概念；3.能正确叙述和筒单应用闭区间上连续函数的性质；4.了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。
重点：连续性概念难点：一致连续性复合函数的连续性第一节连续函数概念一函数在一点的连续性(深度A)一点连续的定义，单侧连续的定义；二间断点及其分类(深度A)间断点定义，间断点的分类；三区间上的连续函数(深度B)区间连续函数概念；第二节连续函数的性质一连续函数的局部性质(深度A)局部的有界性，局部的保号性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性；二闭区间上连续函数的基本性质(深度A)最大最小值性定理，有界性定理、介值性定理、三一致连续性(深度A)一致连续性定义，一致连续性定理。
第三节初等函数的连续性一基本初等函数的连续性(深度A)指数函数的连续性，归纳已学过的基本初等函数的连续性；二初等函数的连续性(深度A)初等函数的连续性及应用。
作业：P73 2,3，4,7，8 P81 2,3，4,6，7,9，10,11,13,17,19,20，P84 1,2，第五章导数与微分教学要求：1.理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；2.能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)；3.理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；4.了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。
重点：导数概念难点：复合函数的求导第一节导数的概念一导数的定义(深度A)导数的定义，单侧导数定义，单侧导数与导数关系二导函数(深度A)导函数的概念；三导数的几何意义(深度A)导数的几何意义；切线方程与法线方程求法，极大(小)值定义，费马定理，达布定理。
第二节求导法则一导数的四则运算(深度A)导数的四则运算法则二反函数的导数(深度B)反函数的求导法则，对数函数及反三角函数的导数；三复合函数的导数(深度A)复合函数求导的链式法则，隐函数的求导法则，四参变量函数的导数(深度B)参数方程的求导法则；第三节高阶导数(深度A)高阶导数概念及求法。
第四节微分一微分的概念(深度A)微分的定义，一元函数的可导与可微的等价性；二微分的运算法则(深度A)微分的运算法则(四则运算，复合函数微分)；三高阶微分(深度A)。
高阶微分的概念；高阶微分的计算；四微分在近似计算中的应用(深度B)函数值的近似计算，误差估计；作业：P94 1,4,6,8,10,13,14,P102 2,3,4,5,6,P105 1,2,3, P109 1,3,4第六章微分学基本定理与导数应用教学要求：1.掌握中值定理的内容、证明及其应用；2.了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；3.能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限；4.了解函数的某些基本特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)，能较正确地作出某些函数的图象。
重点：微分中值定理难点：泰勒公式某些函数的泰勒展开式第一节拉格朗日定理和函数的单调性一洛尔中值定理与拉格朗日中值定理(深度A)洛尔中值定理，拉格朗日中值定理，导数极限定理；二单调函数(深度A)单调函数性的判别；。
第二节柯西中值定理和不定式极限一柯西中值定理(深度A)柯西中值定理；二 不定式极限(深度A) 00，∞∞型的罗必达法则(深度A)，其它类型不定极限求法。
第三节 泰勒公式(深度A)泰勒公式，某些函数的泰勒展开式，近似计算。
第四节 函数的极值与最大(小)值一 极值判别(深度A)极值的判别的三个充分条件；二 最大(小)值(深度A)最大(小)值求法；第五节 函数的凹凸性与拐点(深度A)凸函数概念，拐点概念及判别。