第九章 力学量本征值问题的代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法 升、降算符一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位）则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。

令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+。

利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N+=ˆ。

由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。

但上式 左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。

这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。

如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。

若设最小本征值为0n ，相应的本征态为0n ，则00=n a此时0000ˆn n a a n N ===+ 即0n 是N ˆ的本征值为0的本征态，或00=n 。

此态记为>0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为2/ω 。

利用++=a a N],ˆ[ 同样可以证明n a n n a N+++=)1(ˆ 这说明n a +也是Nˆ的本征态，本征值为)1(+n 。

利用上式及000ˆ=N， 从0出发，逐次用+a 运算，可得出Nˆ的全部本征态： 利用1],[=+a a ，有Na a aa ˆ11+=+=++。

已知0是Nˆ的本征态，本征值是0 由n a n n a N+++=)1(ˆ可知 010ˆ++⋅=a a N即0+a 也是Nˆ的本征态，本征值是1。

下面看02+a 是否也是Nˆ的本征态，本征值是多少？ 显然2000ˆ00)ˆ1(000ˆ22222+++++++++++++++=+=+=+=⋅=⋅=a a a a a N a a a N a a a a a a a a a N故02+a也是Nˆ的本征态，本征值是2。

这样对本征态 >0|，>+0|a ，>+0|2a ，…Nˆ本征值为0， 1， 2，… H 本征值为2/1， 2/3， 2/5，…所以，+a 可以成为上升算符，a 可以称为下降算符。

证毕。

这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。

利用归纳法可以证明（课下证）：Nˆ（即H ）的归一化本征态可表为（为什么？）0)(!1n a n n +=且满足n n n H ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21，n n n n '='δ由0)(!1n a n n +=得 0)()!1(111+++=+n a n n所以>++=>++=>>=+++++1|10|)()!1(10|)(!1|11n n a n n a n n a n n从而有>>=-+n n n a |1|而由n n n a a n N>=>=+||ˆ得 n n n a a n>=+|1 所以>>=-++n a a nn a |11|或>->=++1||n n a n a a 上式作用任一左矢|m <，有>->=<<++1||||n n a m n a a m利用1],[=+a a ，有1-=++aa a a ，代入上式，即>->=<-<++1|||1|n n a m n aa m或>->=<<-><++1|||||n n a m n m n aa m 利用>++>=+1|1|n n n a ，上式变为>>=<<->++<n n m n m n n a m |||1|1|移项，得>+>=<+<n n m n a m |1|1||。

上式对任意m 都成立，所以>+>=+n n n a |11|或>->=1||n n n a 。

连同>++>=+1|1|n n n a ，这就是下降和上升算符的定义,很有用处。

三、升降算符的应用1. 坐标和动量算符的矩阵元计算 利用>++>=+1|1|n n n a>->=1||n n n a以及)(21a a x +=+，)(2a a i p -=+ 容易证明：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=++=-'+''-'+''μωδδμωδδ)1(2,)1(211111n n n n n n n n n n n n n n ip n n x拿第一式的证明为例。

因为)(21a a x +=+， 所以)1(21)1|'1|'1(21)1||'1|1|'(21)||'||'(21||'1,'1,''-++++=>-<+>+<+=>-<+>++<=><+><=>=<n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a n n x n x δδ 2. 能量本征态在坐标表象中的表示 考虑基态>0|，它满足00|>=a即00)(=+ip x 。

在坐标表象中，上式可以写为00|'=+<ip x x插入完备性关系1|''''|''d =<>⎰x x x 得00|''''||'''d >=<>+<⎰x x ip x x x已经知道)'''('''||'x x x i x p x -∂∂->=<δ令1= ，代入前式可以得出00|'')]}'''('d d[)'''('{''d >=<--+-⎰x x x x ii x x x x δδ 利用积分中δ函数的性质可得00|''d d '>=<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x把x x →'，并注意)(0|0x x ψ>=<，有0)(d d 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ψ解出得202)(x ex -∝ψ添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为22410)(x ex ωμπμωψ-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 而坐标表象中激发态的波函数为0!1)(n n a x n n x x +==ψ 由于)(21ip x a -=+，添上长度的自然单位μωα/1 =，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x a d d 121αα所以241222d d 1!1)(x nn e x x n x αααπαψ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 上次课复习)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+ )(21a a x +=+，)(2a a ip -=+ 222121x p H +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n>++>=+1|1|n n n a ，>->=1||n n n a ，0)(!1n a n n +=升降算符的应用四、S-方程因式分解的条件上述的因式分解法是Schrödinger 提出来的。

可以证明，对于存在束缚态的一维势阱()x V ，只要基态能量0E 有限, '0ψ存在,则可定义相应的升降算符，并对Hamilton 量进行因式分解。

另外还可以证明，对于r 幂函数形式的中心势)(r V ，只当r r V /1~)(（Coulomb 势）或2~)(r r V (各向同性谐振子势)时，径向S-方程才能因式分解。

总之，S -方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。

§9.2 角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。

下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。

一、一般角动量算符的对易关系如果算符j ，其三个分量z y x j j j ,,满足下列对易关系z y x j i j j =],[，x z y j i j j =],[，y x z j i j j =],[则以z y x j j j ,,作为三个分量的矢量算符j 称为角动量算符。

且式z y x j i j j =],[，x z y j i j j =],[，y x z j i j j =],[称为角动量的基本对易式。

轨道角动量l ，自旋角动量s 以及总角动量j s l =+的各分量都满足此基本对易式。

以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。

定义2222z y x j j j j ++=利用角动量分量间的一般对易式容易证明：0],[2=αj j ，z y x ,,=α定义y x j j j i ±=±其逆表示为)(21-++=j j j x ，)(i21-+-=j j j y 同样可以证明：±±±=j j j z ],[z z j j j j j ±-=±22 z j j j j j 2=-+--+)(222z j j j j j j -=++--+利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。