迹线： 1、定义
流体质点的运动轨迹 拉格朗日法
2、迹线的确定（迹线方程）
由拉格朗日方程给出：
x=x(a，b，c，t)
y=y(a，b，c，t) 直接消去时间即可
z=z (a，b，c，t)
由欧拉方程给出： dx dy dz dt vx(x, y, z,t) vy(x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
第三章流体运动学和动力学基础
3.1研究流体运动的方法
描述方法
随体法 拉格朗日法
当地法
欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c,t) 参数分布：B = B（x, y, z, t）
1、拉格朗日方法
以流体质点为研究对象 追踪法 x=x(a，b，c，t)
在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为： y=y(a，b，c，t)
dx dy dz vx (x, y, x,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
流线的重要性质： 1、对于定常流动，流线与迹线重合；
dx dy dz vx (x, y, x,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
dx dy dz dt vx(x, y, z,t) vy(x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
流体质点的三个速度分量、压强、密度、温度可表示为：
u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) w=w (x，y，z，ty, z,t)
T T(x, y, z,t)
x，y，z不变而改变时间t 参数t不变，而改变x，y，z
固定点的速度随时间的变化 某一时刻，空间各点的速度分布
流量 有效截面 平均流速
水力半径R：截面积与湿周之比R＝A／χ 湿周χ ：流体与固壁接触周长
对于圆形A＝πd2／4，R= （πd2／4）／（πd）＝d／4
d＝4R
当量直径：按水力半径相等的原则将非圆截面折合成圆形对应的 直径。
A de
4
de

4
A

长方形管道 圆环形管道
管束
4hb 2hb de 2(h b) h b
速度和加速度分别为：
u dx dt
v dy dt
ax

du dt
ay

dv dt
az

dw dt
w dz dt
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的
欧拉法
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单
直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变形特性
流体力学最常用的解析方法
系统 、 控制体
3.2流动的分类
1. 流动维数： 三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
v=v ( x, y, z, t)
二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数
v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t)
一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数
dx dy t 1 1
x yc t 1
(b)
在t = 0时刻，流线通过原点x = y = 0，可得c = 0，相应的流线方程为
x=y
（c）
这是过原点的，一三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。
3.4 流管 流束 流量 当量直径
流管 流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过 曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状 表面，称之为流管。
v=v( x ) 或 v=v ( s )
B2 流动分析基础
2 定常与不定常流动 a. 定常流动 b. 准定常流动 c.周期性谐波脉动流 d. 周期性非谐波脉动流（生理波） e.非周期性脉动流(衰减波） f.随机流动（湍流） • 不定常流与定常流的转换
3 粘性与非粘性流动
B2 流动分析基础
3.3 迹线 流线

v(a,b, c,t)
vz

z t

w(a,b, c,t)
ax

vx t

2x t 2
ax (a,b, c,t)
ay

v y t

2 y t 2
ay (a, b, c, t)
az

vz t

2z t 2
az (a,b, c,t)
2、欧拉法
以流场中固定点(或体积)的流体为研究对象
2、通常情况流线不能转折或相交。
3、流速为0或无穷大点流线可以转折或相交。
【例3-1】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0， 试求其流线方程。
解】 由于w=0，所以是二维流动，将两个分速度代入流线 微分方程，得到
xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心 圆。
de

4

4
d
2 2


4
d
2 1
d1 d 2

d2
d1
de

4
积分消去时间
流线： 切线与速度方向一致的假想曲线 欧拉法
2、流线的确定（流线方程）
由流线定义，任一点速度方向与流线相切

vd s 0
i V dL vx
dx
jk vy vz 0 dy dz
vx dz -vz dx=0 vx dy -vy dx=0 vz dy -vy dz=0
t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A迹线方程为
x 1 t 2 t
2
(a)
yt

消去参数t 可得
x 1 y 2 y 1 ( y 1)2 1
2
2
2
上式表明质点A的迹线是一条以（-1/2，-1）为顶点，且通过原点的抛 物线。 （2）流线方程为
积分可得
z=z (a，b，c，t)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标
拉格朗日变量
a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律
t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布
求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：
vx

x t

u(a,b, c,t)
vy

y t
方向
[例不定常流场的迹线与流线
已知：设速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。
求： （1）质点A的迹线方程；
（2）t = 0时刻过原点的流线方程；
解： (1) 迹线方程组为 dx t 1 dt dy 1 dt
由上两式分别积分可得
x

1 2
t2

t

c1
y t c2