高二下学期期中考试数学（理科）模拟试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分） 1．设复数i z i z +=-=3,121，则21z z z =在复平面内对应的点在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于︒60”时，反设正确的是A ．假设三内角都不大于于︒60 B.假设三内角都大于︒60 C ．假设三内角至多有一个大于于︒60 D.假设三内角至多有两个大于︒603．若复数2(4)(3)()z x x i x R =-++∈，则“z 是纯虚数”是“2x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于A ．mB ．2mC ．0 D ．m - 5．复数z 满足|3||3|z z -=+，且||5z =，则z 等于 A ．5± B ．5i ± C ．35i ±+ D ．34i ±±6．20()x x e dx +⎰的值为A ．24e +B ．23e +C ．22e +D ．21e +7．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f '的图象最有可能是8．电视台某节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有几种。

A.80B.84C.108D.729．用数学归纳法证明*))(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⨯⨯⨯=+++ΛΛ，从“k 到k+1”，左端需要乘的代数式为（ ） A.2k+1 B.2(2k+1) C.112++k k D.132++k k 10．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．),1[+∞- B ．),1(+∞- C ．]1,(--∞ D ．)1,(--∞11.对于函数x x x x f +-=2ln 3)(，下列说法正确的是：A 既有极大值，又有极小值B 只有极小值 ，没有极大值C 只有极大值，没有极小值D 没有极值12.定义：若存在常数k ，使得对于定义域D 内的任意两个不同的实数21,x x ，均有2121)()(x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 上满足利普希茨条件，对于 函数)1()(≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值应是 A 21B 31C 1D 2二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.曲线)0(2≥=x x y 与直线1=y 及直线2=x 所围成的曲边三角形的面积为 14.函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 15.若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，其中R x ∈，则1-z = 16． 13．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此下去，得图（3）……，试用n 表示第n 个图形的边数n a =______________. 三、解答题：17.证明下列问题 (1)求证：103112+<+(2)设a ,b,c,为均大于1的数，且10=ab ； 求证：c c c b a lg 4log log ≥+18．已知函数32()3,f x x ax x a R =-+∈（I ）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[1,5]x ∈上的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围。

19．已知函数2()(0,f x ax bx c a b =++>、)c R ∈，曲线()y f x =经过点2(0,28)P a +，且在点(1,(1))Q f --处的切线垂直于y 轴，设()(()16)x g x f x e -=-⋅。

（I ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当c b取得最小值时，求函数()g x 的单调递增区间。

20．已知数列{}n a 的前n 项和为121,,2(2,)3n n n nS a S a n n N S =-+=-≥∈。

（I ）求234,,S S S 的值；（Ⅱ）猜想n S 的表达式；并用数学归纳法加以证明。

21．已知三次函数)0)(2(3≠bxaxcxf在1-xd+++=ax处取得极大值，且=f是奇函数.x2)(-(1)若函数)(x f的图像在x=0处的切线与直线l：0-y+x垂直，求)(x f的13=解析式；（2）当]1,1[-f恒成立，求实数a的取值范围；x∈x时，不等式0)(≥22.设函数)1(2)(2-=x x x f 给定数列}{n a ，其中*))((,111N n a f a a a n n ∈=>=+.(1) 若}{n a 为常数列，求a 的值；(2) 判断n a 与2的大小，并证明你的结论；(3) 当32<<a 时，求证：n a ＜2+121-⎪⎭⎫⎝⎛n参考答案及评分标准一、选择题：DBBCBD CBBCCA二、填空题：34 5 5 143-⨯n 三、解答题：17.（1）证明：要证103112+<+， 需要证()()22103112+<+ 1分需证：3021322213+<+ 3分 需证3022< 5分 因为22<30 所以3022<, 故103112+<+. 6分 （2）证明： 要证c c c b a lg 4log log ≥+ 需证c cba c lg 4lg lg lg lg ≥+ 7分 由于c>1,只需要证4lg 1lg 1≥+ba 8分 即证4lg lg lg lg ≥+b a b a 需证4lg lg 1≥ba需证41lg lg 0≤<b a 9分 由于ab=10, 则lgab=1即lga+lgb=1 而a,b 均为大于1 的数，即lga>0且lgb>0,则lga+lgb ≥b a lg lg 241lg lg 0≤<b a 11分 故c c c b a lg 4log log ≥+ 12分 18．解：（I ）2'()323f x x ax =-+。

'(3)0f =，即27630,5a a -+=∴=322()53,'()31030f x x x x f x x x =-+=-+=，解得3,x =或13x =（舍去） 当x 变化时，'()f x 、()f x 的变化情况如下表：x1 (1,3)3 （3，5）5 '()f x- 0+()f x1-]9-Z15因此，当5x =时，()f x 在区间[1，5]上有最大值是(5)15f = （Ⅱ）()f x 是R 上的单调递增函数转化为'()0f x ≥在R 上恒成立。

从而有2'()3230f x x ax =-+=的2(2)4330a ∆=--⋅⋅≤，解得[3,3]a ∈-。

19．解：（I ）Q 经过点2(0,28)P a + ∴228c a =+；由切线垂直于y 轴可知'(1)0f -=，从而有20a b -+=， 2b a ∴=（Ⅱ）因为0,a >而22844242c a a a b a a a+==+≥⋅=， 当且仅当4a a=，即2a =时取得等号。

22()2416,()(()16)(24)x x f x x x g x f x e x x e --∴=++=-⋅=+ 22'()(44)(24)(1)(42)x x x g x x e x x e e x ---=+++-=-因为0x e ->'()0g x ∴>时()g x为单调递增函数，即(为单调递增区间20．解：（I ）12342345,,,3456S S S S =-=-=-=-（Ⅱ）猜想1()2n n S n N n ++=-∈+数学归纳法证明：（1）当1n =时，1123S a ==-猜想成立； （2）假设(2,)n k k k N =≥∈时猜想成立，即有：12k k S k +=-+， 则1n k =+时，因为11112k k k S a S ++++=-， 即：111111()2,2k k k k k k S a a S S S ++++++=-∴=--； 由假设可知；1112(2)(1)32,222k k k k k S k k k ++-++++∴=-+==-+++ 从而有12,13k k S n k k ++=-=++时，猜想成立； 由（1）（2）可知，1()2n n S n N n *+=-∈+成立21.（满分14分）．解：（1）f （x ）-2是奇函数，∴ f （-x ）-2= -[]2)(-x f ，Θf （x ）=ax 3+bx 2+cx+d,∴-ax 3+bx 2-cx+d-2=-ax 3-bx 2-cx-d+2, ∴bx 2+d-2=0,Θx ∈R, ∴b=0,d=2,(2分)∴f （x ）=ax 3+cx+2，∴f ’(x)=3ax 2+cΘ f （x ）在x= -1处取得极大值， ∴f ’(-1)=0，∴3a+c =0, ∴c =-3a3分1，f（x）的图像在原点处的切线与直又Θ直线l：x-3y+1=0的斜率为3线l垂直。

∴f’(0)= -3，c= -3 ∴a=1，5分∴f’(x)=3x2-3=3（x-1）（x+1），Θ当x＜-1时，f（x）=x3-3x+2。

f’(x)＞0，当-1＜x＜1时，f’(x) ＜0，∴f（x）在x= -1处取得极大值，符合题意。

=xxf7分-x23)(3+(2)由（1）知f（x）=ax3-3ax+2，f’(x)=3ax2-3a=3a（x-1）（x+1），8分令f’(x)=0，得x=1或x= -1。

Θf（x）在x= -1处取得极大值，9分∴当x＜-1时，f’(x)＞0.当-1＜a＜1时，f’(x)＜0∴a＞0. 当x∈[]1,1-时，不等式f（x）≥0恒成立等价于f（x）min≥0，11分Θf（x）在[]1,1-上是减函数，∴f（x）的最小值为f（1），12分∴f（1）≥0，∴2-2a≥0，∴a≤1。

13分综上所述，a的取值范围是0＜a≤1。

14分22.（满分14分）．解析：（1）若{}n a为常数列，则a n=a由a n+1=f（a n），得：a=f（a）Θ)1(2)(2-=x x x f ，∴)1(22-=a a a ， Θ a ＞1，∴a=2（a-1），解得：a=2 （4分）（2）当a=2时，有（1）知a n=2； （5分）当a ≠2时，Θa 1=a ，a n+1=)(n a f =)1(22-n n a a ，∴ a 2=)1(2121-a a =)1(22-a a ， ∴2a -2=)1(22-a a -2=)1(2442-+-a a a =)1(2)2(2--a a ＞0，∴ a 2＞2，(6分)Θa 3-2=)1(2222-a a -2=)1(2)2(222--a a ＞0，∴a 3＞2，猜想当n ≥2时，a n ＞2。