(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
12.已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（）
A.3B.5C.7D.9
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件通过解方程可得 时的根为 ，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得 的解得个数.
【详解】∵当 时， ，
令 ，则 ，解得 .
∵ ，∴函数 是周期为4的周期函数.
【详解】∵ 是抛物线 的焦点，∴ ，准线方程 ，
设 ， ，根据抛物线的定义可得 ， ，
∴ .
解得 ，∴线段 的中点横坐标为 ，
∴线段 的中点到准线的距离为 .故应选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.
6.已知 的面积为 ，三个内角 的对边分别为 ，若 ， ，则三角形是（）
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.
2.已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.
【详解】∵ ，∴z的实部为 ．
故应选B．
【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设 ，
=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．
由 ，得 ，
又 ，得 ，
∴y关于t的线性回归方程为 ．
（2）①由（1）知 ，当t=7时， ，
所以预测2019年该农产品 产量为7.56万吨．
②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），
【分析】
直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.
【详解】 ； ；又 ； 与 的夹角为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.
5.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中点到准线的距离为（）
A. B. C.1D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可得 ，进而得 ，从而得中点横坐标，进而得解.
故应选D.
【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.
8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为 ，则 的数学期望是（）
A.1B. C.2D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可.
16.直三棱柱 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为 ，则该三棱柱体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.
【详解
设外接球的半径为r，则 ，解得 ，
∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，
∴ ．∴ ，∴ ，
∴ ．当且仅当 时“＝”成立．
∴三棱柱的体积 ．
故答案为：
【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角），进而通过计算 的各边长，利用余弦定理求解即可.
【详解】设 的中点为 ，连接 、 、 ，
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）；
设三棱柱 的侧棱与底面边长为1，
则 ， ， ，
由余弦定理，得 .
故应选B.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.
A.30B.29C.90D.54
【答案】D
【解析】
【分析】
模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件 ，退出循环，即可得解.
【详解】模拟程序的运行，可得 ， ，执行循环体， ， ；
不满足条件 ，执行循环体， ， ；
不满足条件 ，执行循环体， ， ；
不满足条件 ，执行循环体， ， ；
此时，满足条件 ，退出循环，输出 的值为54.
10.函数 的图像大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：采用排除法，函数定义域为 ，排除A，当 时， ，排除D，当 时， ，排除C，故选B.
考点：函数 图象.
11.已知双曲线 ，若抛物线 （ 为双曲线半焦距）的准线被双曲线 截得的弦长为 （ 为双曲线 的离心率），则双曲线 的渐近线方程为（）
（一）必考题：60分
17.已知正项等比数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】
【分析】
(1)由题意得 ，解出基本量即可得到数列 的通项公式；
(2)由（1）知， ，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列 的公比为q，由已知 ，
∴ 平面 ，∴ ．
又∵在正方形 中，D，E分别是AC， 的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE
∴∠A1DA=∠AEC,∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90°,即 ．
又 ，∴ 平面 ．
又 ，则
（2）取 中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系
， ， ， ， ，
， ，
则 ，
.
3.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，结合条件得正切，代入求解即可.
【详解】由已知得 ，
.
故应选B.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.
4.已知向量 ， ，则 与 的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
15.将函数 的图像向左平移 个单位得到一个偶函数的图像，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
通过函数图象平移得到 为偶函数，进而由 ， ，即可得解.
【详解】将函数 的图像向左平移 个单位得到 的图像，
其图像关于 轴对称，所以有 ， ，又 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.
由题意得 ，
所以 ．
解得 ， ．
因此数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，
∴ ．
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1) ；（2） ；（3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
当y=7 5时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，
计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．
【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.
19.如图，三棱柱 的所有棱长都是2， 平面ABC，D，E分别是AC， 的中点．
13.已知函数 的图像在 处的切线方程是 ，则 ______．
【答案】10
【解析】
【分析】
通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.
【详解】由已知切点在切线上，所以 ，
切点处的导数为切线斜率，所以 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.
14.已知实数 满足 ，则 的最大值是______．
18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码
1
2
3
4
5
6
年产量 （万件）
6.6
6.7
7
7.1
7.2
7.4
（1）根据表中数据，求 关于 的线性回归方程 ；
（2）若近几年该产品每千克的价格 （单位：元）与年产量 满足的函数关系式为 ，且每年该产品都能售完.
求证： 平面 ；
求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定和性质，得到 平面 ，进而证得 ；
（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角 的余弦值.
【详解】（1）∵ ，D是AC的中点，∴ ，
∵ 平面ABC，∴平面 平面ABC，
①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区 年该产品的产量；
②当 为何值时，销售额 最大？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .
【答案】（1） （2）①7. 56②
【解析】
【分析】
（1）求得样本中心点 ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；