信号与系统
§5.6.4 系统函数和信号流图
信号与系统
主要内容
•系统方框图 •信号流图
•Mason公式
•系统模拟（第5.8节）
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。 子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。 （1）级联 （2）并联 等效系统函数为 等效系统函数为
X
X1
X2
G1
1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L4 )
G2
1 H4G1 H2 H3H4 H5G2 H5 H6G2 H2 H7G2 H2 H4 H7GG2 1
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
L3 ( X1 X 4 Y X1 ) H5 H 6G2
L4 ( X1 X 2 Y X1 ) H 2 H 7G2
其中L1、L4是两两不接触的回路，没有三个互不接触的回路
信号与系统
H6
H7 X3
H4
三．Mason公式 H H
1
2
H3
H5
X4
Y
可以求得流图的特征式
X (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
一．系统方框图
（3）反馈
X (s)
E (s)
等效系统函数为
H1 ( s)
H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
对于负反馈，总有
B( s )
X ( s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
解：先求环路，一共有4个环路，即
L1 H 2G2
L2 H 4G4
L3 H 5G5
L4 H 2 H 3 H 4 H 5G1
其中（L1、L2），（L1、L3）是两两不接触的回路，没有三三不接触的
回路。
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
H (s)
Y (s)
X 2 ( s)
H 24
H 14
H 45
H 46
X 5 (s)
X 1 (s)
X 4 (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 3 s
H 34
多输入多输出节点
X 6 (s)
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，
X 4 X 1 H14 X 2 H 24 X 3 H 34
H1
X
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
H7 X3
H4 H2
H3
X2
H5
X4
Y
X1
G1
解：先求环路，一共有4个环路，即
G2
L1 ( X 3 X 4 X 3 ) H 4G1
L2 ( X1 X 2 X 3 X 4 Y X1 ) H 2 H3 H 4 H 5G2
方程两边积分三次得到
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 2 dt dt
说明
y1 (t )是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
d 2 y1 t dt 2


dy1 t dt
a1
a0
信号与系统
四．系统模拟
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
可以画出完整的系统框图
b2
b1
x (t )

a2

a1
a0

y1 t
y(t )
b0
信号与系统
四．系统模拟
对应的信号流图为
1
G1 H1
X
H2 X1
H3
G4
X3
H5 G5
Y
G2
X2
H4 X4
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。
前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。
信号与系统
四．系统模拟
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
前向通路只有一条，即
所有回路都和这条前向通路接触，所以
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
三、 已知题图所示电路，求： （1）系统函数
H ( s) V2 ( s ) V1 ( s )
2H
+
v1 ( t )
+
1F
（2）冲激响应
h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 。
-
2
v2 ( t )
-
题图
三条前向通路之(1)
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
三条前向通路之(2)
1 1 0 0 1
X X1 X 4 Y
P2 H1 H 5 H 6
2 1
信号与系统
三．Mason公式
X X1 X 2 Y
三条前向通路之(3)
P3 H 1 H 2 H 7
Mason公式为
P ( s)
k 1 k
M
k
( s)
( s )
其中
H ( s ) 从输入节点到输出节点之间的系统函数
(s)
特征式
(s) 1 Li Li L j Li L j Lk
i i i
L 所有不同回路增益之和 L L 所有两两互不接触回路增益乘积之和 L L L 所有三个互不接触回路增益乘积之和
3 1 H 4G1
H6 H7 X3
H4
所以系统函数为
X
M
H1 X1
H2
H3
X2
H5
X4
Y
G1
H
Pk (s) k (s)
k 1
G2
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 H1H 5 H 6 H1H 2 H 7 1 H 4G1 1 H 4G1 H 2 H 3 H 4 H 5G2 H 5 H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G1G2
d3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) dy (t ) a2 a1 1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 3 dt 2 dt
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d 2 y1 (t ) dy1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
H (s) H1 (s) H 2 ( s)
X (s)
H (s) H1 (s) H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s )
X (s)
Y1 ( s )
H 2 (s)
X (s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Y1 ( s )
Y ( s)
Y2 ( s )
Y ( s)
Y (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
系统函数为
H
P (s)
k 1 k
M
k
( s)
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 1 H 2G2 H 4G4 H 5G5 H 2 H 3 H 4 H 5G1 H 2 H 4G2G4 H 2G2 H 5G5
信号与系统
三．Mason公式
H6
H1 ( s ) Y ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方
向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器。
X (s)
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
所以流图的特征式为
(s) 1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L2 L1L3 )
1 ( H 2G2 H 4G4 H5G5 H 2 H3 H 4 H5G1 ) (H 2 H 4G2G4 H 2G2 H5G5 )
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
d3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) d 2 x(t ) dx(t ) a2 a1 a0 y (t ) b2 b1 b0 x(t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt