2
一端固定一端自由 的弦振动的简正模式
l (n 1) n n 1,2,
22
l 1
4
l 32
4
l 53
4
例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波
方程为
y1
103 cos[200π(t x )] 200
(m)
（1）
在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O
相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1
观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的 现象，称为多普勒效应。
例如
当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者 听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当 火车离开站台，听到的笛声频率降低。
波源的频率、观察者接收到的频率、波的频率
波源的频率ν s：波源在单位时间内振动的次数
观察者接收到的频率 ：观察者在单位时间接收到的振动次数 波的频率 b ：介质内质点在单位时间内振动的次数
反射波有半波损失
波疏介质
五、驻波的能量
各质点位移达到最大时，动能为零，势能不为零。 在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对 形变最小，势能最小。势能集中在波节。
当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能 最大，且处于波腹的质点速度最大。动能集中在波 腹。
能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复 循环，能量不被传播。所以驻波不传播能量，它是 媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。

t T

x


驻波方程:
y

y1

y2

Acos 2 t
T

x


Acos 2 t
T

x



2 t
A 2 cos T

x

2 t
T

x


2 t
cos T

x

2 t

x) 200

π] 2
(m)
（b） y

y1

y2

2 103 π
cos(πx

π) cos(200πt 4

π) 4
（c） 令
cos(πx ) 0 4
得波节坐标 x n 1 (n 0,1,2,)
4
x ≤ 2.25 m x 0.25 m,1.25 m,2.25 m 令 cos(πx π ) 1
的波长为 0
0 uTs
uTs
0
波源运动，在媒质中的波长：
0 VsTs (u Vs )Ts
u Vs
s
S
Vs
VsTs
uTs
0
此时波的频率为：
b

u


u
u Vs

s
由于观察者静止， 所以他接受到的 频率就是波的频率：



u
u Vs

s
频率升高
当波源以速度 Vs 远离观察者运动时，
vAC vs cos vBC vs cos
A
vs
B


h
C
1

u
u vAC

0

u

u
vs cos
0
2

u
u vBC
0

u

u
vs cos
0
cos 1 0 u 0.275 cos 0 2 u 0.413
1 s
2 s
h
st

cot cot
st cos cos
1 cos2 1 cos2
1.08103 m

∵一波节两边 2Acos 2x

同号，∴相邻波节间各点位相相同； 异号，∴波节两边质点位相相反。
可知，相邻波节间质点同步一齐振动，波节两边质点反方向振动。 驻波的波形不传播。
四、半波损失
实验表明，在介质分界面（反射点）出现波节还 是波腹，与反射点两侧介质的性质有关。
波密介质——波阻（ρu）较大的介质。 波疏介质——波阻（ρu）较小的介质。
1
4


2
②.波腹位置
cos 2 x 1
x k
2
2 x k
振幅为2A
(k 0,1,2)
/2
/2 /4
波节
波腹
波节与波腹之间的距离为 / 4
除波节、波腹外，其它各点振幅
0 2A
5.驻波中各点位相
2Acos 2x 0


2Acos 2x 0
(2)观察者听到来自B的频率；
(3)观察者听到的拍频.
v O
v sB
AO
B
解 (1)已知 u 330 m s-1, vsA 0, vsB 60 m s-1
' u v0
u vs
' 330 30 500 454.5 Hz
330
v O
v sB
v's
v s
vo
v'o
当 vs u 时，所有波
前将聚集在一个圆锥面上，
波的能量高度集中形成冲击 波或激波，如核爆炸、超音
ut
P2
速飞行等.
P1
多普勒效应的应用
vst
1）交通上测量车速；
2）医学上用于测量血流速度；
3）天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；
4）用于贵重物品、机密室的防盗系统；
T

x


2
2
2Acos2 t cos 2x
T

2Acos 2x cos2vt
y 2 A cos 2 x cos 2 t

T
三、讨论
1.振幅项
2 A cos 2 x
只与位置 x 有关， 而与时间 t 无关。
2.波节----振幅始终为 0 的位置。
这三个频率可能互不相同，为简单起见，只讨论波源和观察者 沿着它们的连线相对介质运动的情况
一 波源不动，观察者相对介质以速度 vo 运动
观察者在P点向着波源（S）运动，
波以u向P传播，
S
P′
Ｐ
v0dt
udt
dt时间内 (v0 u)dt 距离内的波都被观察者接收到了
所以观察者接收到的频率为 v0 u b
可得观察者接受到的频率：



u
u Vs

s
频率降低
三 波源与观察者同时相对介质运动 (vs , vo )
' u vo vo 观察者向波源运动 + ，远离 .
u vs vs 波源向观察者运动 ，远离 + .
若波源与观察者不 沿二者连线运动
' u v'o
u v's

L) 200

π]
(m)
（2） （3）
y 12
O
L
A
x
由式（2）得A点的反射振动方程
y2 A
103
cos[20 ](m（) 4）
舍
由式(3)和式(4)得：
去
0 0

2πL π 2

π

-3.5π

-4π

π 2
所以反射波方程为：
y2
103
cos[200π(t
波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收 到从汽车反射回来的波的频率为" 110 kHz . 已知空气中的声速u 330 m s，1 求车速.
v 0
解 (1)车为接收器 ' u v0
u
(2)车为波源 " u ' v0 u
u vs
u vs
车速
v0

vs
" "
u

56.8
km h 1
v 0
例3 利用多普勒效应测飞行的高度.飞 机在上空以速度 vs 200 m s1 沿水平直线
飞行,发出频率为 0 2 000 Hz 的声波 . 当
飞机越过静止于地面的观察者上空时, 观
察者在4 s内测出的频率由1 2 400 Hz 降 为 2 1 600 Hz . 已知声波在空气中的速度
AO
B
(2) 观察者听到来自B 的频率
330 30 500 461.5 Hz
330 60 (3) 观察者听到的拍频
7 Hz
v O AO
v sB B
例2 利用多普勒效应监测车速，固定波
源发出频率为 100 kHz 的超声波，当汽车向
的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等, 求： （a）反射波方程; （b）驻波方程;
（c）在OA之间波节和波腹的位置坐标. y 12
O
L
A
x
解 （a）设反射波方程为
y2
103
cos[200π(t

x) 200
0 ]
(m)
由式（1）得A点的反射振动方程
y1A
103
cos[200π(t
第六节 驻波
一、驻波的产生
当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠 加可产生驻波。
驻波是两列振幅、频率和传播速率都相同的相 干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的。
驻波是干涉的一种特殊情况