对收缩喷管，压力最多只能 膨胀到临界压力，流速最大 也只能达到当地声速，故最 大质量流量为
qm ,max = Amin 2κ ⎛ 2 ⎞ ⎟ κ +1⎜ κ 1 + ⎝ ⎠
2 κ −1
p0 v0
对缩放喷管，由于最小截面的流量限制，尽管在Ma>1 时流速和截面积都在增大，但质量流量保持不变
取对数
定熵指数大于1，故气流在喷管里面压力不断 降低的同时，音速也是不断降低的
5.3 喷管的计算 一、流速计算
1.流速计算公式 能量方程式： h0 = h2 +
c
2 f2
2
= h1 +
c
2 f1
2
= h+
c
2 f
2
任意截面流速： c f = 出口截面流速： cf 2 =
2 ( h0 − h )
2 ( h0 − h2 ) = 2 ( h1 − h2 ) + c 2 f1
c f ,cr = c = kpcr vcr
5.2 促使流速改变的条件
喷管中的音速变化
c = kpv
1 ln c = ( ln κ + ln p + ln v ) 2 dc 1 ⎛ dp dv ⎞ 求微分 = ⎜ + ⎟ c 2⎝ p v ⎠ dc 1 ⎛ 1 ⎞ dp = ⎜1 − ⎟ c 2⎝ κ ⎠ p dp dv 过程方程： +κ =0 p v
pcr ??
根据临界截面的定义(Ma=1)： c f ,cr = κ pcr vcr
κ −1 ⎡ ⎤ κ pcr vcr 2 ⎢ ⎛ pcr ⎞ ⎥ 1− ⎜ = ⎟ ⎥ ⎢ κ −1 p 0 v0 p0 ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎛ pcr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p0 ⎠
1
κ −1 κ
vcr ⎛ p0 ⎞ κ ⎛ pcr ⎞ 定熵方程： =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ v0 ⎝ pcr ⎠ ⎝ p0 ⎠
5.1 一元稳定流动的基本方程 二、能量方程式
定义：流体速度为零的截面称为滞止截面； 此时流体的状态称为滞止状态。相应的参数称 为滞止参数。如滞止压力， 滞止温度，滞止焓。
h0 = h2 +
理想气体：
c2 f2 2
= h1 +
c2 f1 2
= h+
c2 f 2
c pT0 = c pT1 +
T0 = T + c
dc f dA 2 = ( Ma − 1) A cf
dA dc f dv + = A cf v
喷管 dp < 0, ⋅ ⋅ dv > 0, ⋅⋅ dc f > 0
dc f cf
Ma < 1
dv > v
dc f cf
dv < v
Ma < 1
dc f cf
dv = v
Ma > 1
Ma > 1
Ma = 1
5.1 一元稳定流动的基本方程 四、与流体性质相关的方程式
1. 状态方程： F ( p , v , T ) = 0 理想气体 pv = Rg T
2. 过程方程： 只考虑定熵流动（绝热无摩擦）
pv κ = p1v1κ = p2 v2κ = Const
dp dv +κ =0 p v
κ 定熵指数/绝热指数
1
−
κ
κ −1 ⎡ ⎤ κ 2 ⎢ ⎛ pcr ⎞ ⎥ 1− ⎜ = ⎟ κ − 1 ⎢ ⎝ p0 ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
5.3 喷管的计算
3.临界流速与临界压力比 pcr 定义临界压力比： β cr = p0 κ −1 κ −1 ⎡ ⎤ 2 κ κ β cr = ⎢1 − β cr ⎥ κ −1 ⎣ ⎦ 单原子气体： κ ≈ 1.67, ⋅⋅ β cr = 0.487 双原子气体： κ ≈ 1.40, ⋅⋅ β cr = 0.528 多原子气体： κ ≈ 1.30, ⋅⋅ β cr = 0.546 过热水蒸汽： κ ≈ 1.30, ⋅⋅ β cr = 0.546 饱和水蒸汽：κ ≈ 1.135, ⋅⋅ β cr = 0.577 各种气体在喷管 中流速从零增加 到临界流速，压 力大约降低一半
h1-h2称为绝热焓降（可用焓差） 上式对于理想气体和实际气体都适用，与过程 是否可逆无关
5.3 喷管的计算
2.状态参数对流速的影响 前提条件：理想气体，定值比热容，流动可逆
cf 2
κ Rg = 2( h0 − h2 ) = 2c p (T0 − T2 ) = 2 (T0 − T2 ) κ −1
k −1 ⎡ ⎤ k κ Rg T0 ⎛ T2 ⎞ κ Rg T0 ⎢ ⎛ p2 ⎞ ⎥ = 2 1− ⎜ ⎜1 − ⎟ = 2 ⎟ ⎥ ⎢ κ − 1 ⎝ T0 ⎠ κ −1 p0 ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ k −1 ⎡ ⎤ k κ p 0 v0 ⎢ ⎛ p 2 ⎞ ⎥ = 2 1− ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ κ −1 p0 ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
c f ,cr = 临界流速： 2κ 2 p 0 v0 = c 0 κ +1 κ +1 2κ Rg T0 κ +1
c f ,cr = 对理想气体：
滞止参数由初态参数确定，故临界流速只决定于进口 截面的初态参数；对理想气体则仅取决于滞止温度
5.3 喷管的计算 二、流量计算
根据连续性方程，气体通过喷管任意一个截面上的质 量流量都是相同的。因此通常按喷管的最小截面计算 Acr c f ,cr A2 c f 2 qm = 或 qm = v cr v2 缩放喷管（喉部截面） 收缩喷管（出口截面）
Ma < 1 亚音速 Ma = 1 音速——临界截面 Ma > 1 超音速
思考：超声速一定大于亚声速吗？为什么？
5.2 促使流速改变的条件
工质流速的改变必须要有压力差
一、力学条件
动量方程： c f dc f = − vdp
dc f cf
κ pvdp κ pv dp vdp =− 2 =− =− 2 2 κ pc f κcf p cf
=γ = cp cv
对于定比热容理想气体：κ
5.1 一元稳定流动的基本方程 四、与流体性质相关的方程式
3. 声速方程： 声速是微弱扰动在连续介质中所产生的压 力波的传播速度。在气体介质中压力波的传播可以近 似看作定熵过程，拉普拉斯声速方程为：
c =
∂p ( )s = ∂ρ
∂p −v ( )s ∂v
dc f dv dA 连续方程： =− + A cf v
dp dv 过程方程： +κ =0 p v
dc f dp 2 力学条件： = − kMa p cf dc f dc f dc f dA 2 2 =− + Ma = ( Ma − 1) A cf cf cf
通流截面的面积影响速度
5.2 促使流速改变的条件 二、几何条件
dA < 0
dA > 0
dA < 0, ⋅⋅ dA = 0, ⋅⋅ dA > 0
渐缩喷管
渐扩喷管
缩放喷管（拉伐尔喷管）
5.2 促使流速改变的条件
dc f dA 2 = ( Ma − 1) A cf
dA dc f dv + = A cf v
扩压管
dc f cf dv < v
dp > 0, ⋅ ⋅ dv < 0, ⋅⋅ dc f < 0
出口截面的流速取决于工质 在进出口截面上的参数。初 态一定时，流速取决于出口 截面压力与滞止压力之比
5.3 喷管的计算
3.临界流速与临界压力比 临界截面上的流速： c f , cr
κ −1 ⎡ ⎤ κ κ p0 v0 ⎢ ⎛ pcr ⎞ ⎥ = 2 1− ⎜ ⎟ κ − 1 ⎢ ⎝ p0 ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ac = v
q m1 , c f
1 x 2
qm 2 , c f
q m1 = q m 2 = q m =
A1c f 1 v1
=
A2 c f 2 v2
=
Ac f v
= Const
dc f dv dA 微分形式： + − = 0 任意流体； 任意可逆/不可逆过程 A cf v
5.1 一元稳定流动的基本方程 二、能量方程式
dc f cf
Ma > 1
dv > v
Ma > 1
dc f cf
dv = v
Ma < 1
Ma < 1
Ma = 1
dA > 0
dA < 0
dA < 0, ⋅⋅ dA = 0, ⋅⋅ dA > 0
渐扩扩压管
渐缩扩压管
渐缩渐扩形扩压管
5.2 促使流速改变的条件
Ma = 1
喉部
Amin
喉部截面是气流从亚音速流动到超音速流动的转换 面，又称临界截面，截面上的各参数称为临界参数
dc f dA 2 = ( Ma − 1) A cf
亚音速流动，截面变小，速度增加 超音速流动，截面变大，速度增加
Ma < 1 Ma > 1
Ma < 1 喷管
只有缩放喷管才能将 亚音速流加速到超音 速流（拉伐尔喷管） 喉部
Ma > 1
Ma = 1
Amin
Ma > 1 扩压管 Ma < 1
5.2 促使流速改变的条件
cf 2
k −1 ⎡ ⎤ k κ p 0 v0 ⎢ ⎛ p 2 ⎞ ⎥ p v κ = p v κ 1− ⎜ = 2 0 0 ⎟ ⎥ 2 2 ⎢ p0 ⎠ κ −1 ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
qm = A2
2 κ +1 ⎡ ⎤ κ κ ⎛ p2 ⎞ ⎥ 2κ p0 ⎢ ⎛ p2 ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢ κ − 1 v0 ⎝ p 0 ⎠ ⎝ p 0 ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦