则 在基 1 , 2 ,..., n 下的矩阵为A，即
( 1 , 2 ,..., n ) ( 1 , 2 ,..., n ) A
§9.6 对称矩阵的标准形
x1 y1 x2 y2 n 任取 , R , x y n n
( ) A ,
则对任意 , Rn , 有
Rn
( ), , ( ) ,
或
( A ) ( A ).
§9.6 对称矩阵的标准形
证：取 R n 的一组标准正交基，
1 0 0 0 , 1 , ..., 1 2 n 0 0 0 1
, 分别是属于 , 的征向量．
则 ( ) A , ( ) A ,
§9.6 对称矩阵的标准形
由 ( ), , ( ) 有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 ,
第九章 欧几里得空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
§8酉空间介绍
§5 子空间
§9.6 实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵
四、实二次型的主轴问题
§9.6 对称矩阵的标准形
例1 设
0 A 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
求一正交矩阵T使 T AT 成对角形． 解：先求A的特征值．
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 | E A | 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
§9.6 对称矩阵的标准形
由于 是非零复向量，必有
x x x x x x 0 1 1 2 2 n n
故 0 0 .
0 R.
§9.6 对称矩阵的标准形
Rn 上 引理2 设A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间
定义一个线性变换 如下：
由归纳假设知
W
有n－1 个特征向量 2 , 3 ,, n
构成 W 的一组标准正交基．
§9.6 对称矩阵的标准形
从而 1 , 2 , 3 ,, n 就是 R n 的一组标准正交基，
又都是 R n 的特征向量． 即结论成立．
§9.6 对称矩阵的标准形
3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
即
x1 1 x2 2 ... xn n ( 1 , 2 ,..., n ) X , y1 1 y2 2 ... yn n ( 1 , 2 ,..., n )Y ,
§9.6 对称矩阵的标准形
于是
( ) ( 1 , 2 ,..., n ) X ( 1 , 2 ,..., n ) AX ,
或
( i ) a1i 1 a2 i 2 ani n aki k , k 1,2,, n
k 1
n
§9.6 对称矩阵的标准形
于是 ( i ), j


n n aki k , j aki ( k , j ) k 1 k 1
其中 x i 为 xi 的共轭复数， 又由A实对称，有 A A, A A,
A A
§9.6 对称矩阵的标准形
0 (0 ) ( A ) ( A)
( A ) ( A ) ( A )
(0 ) ( 0 )
即 ij ji ,



i , j 1,2,n,
所以A为对称矩阵．
§9.6 对称矩阵的标准形
（2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 任取 W , 由W是 子空间，有 ( ) W , 因此 ( ), , ( ) 0
( ) W , ( ) W . 即
故 W 也为 的不变子空间．
§9.6 对称矩阵的标准形
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1、（引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的． 证：设实对称矩阵A为 R n 上对称变换 的在标准正交 基下的矩阵， , 是A的两个不同特征值 ，
§9.6 对称矩阵的标准形
则 W 也是 子空间，且
W W Rn ,
dimW n 1
, W , 有 又对

W
( ), ( ), , ( ) , W ( )



所以 W 是 W 上的对称变换．
把它正交化，得
§9.6 对称矩阵的标准形
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) ( 1 , 1 ,1,0) 2 2 ( 1 , 1 ) 1 2 2 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 1 2 ( , , ,1) 3 3 ( , ) ( , ) 3 3 3
dimV
i 1
r
i
n
§9.6 对称矩阵的标准形
11 ,12 , ,1n1 ,,r 1 , r 2 ,, rnr 就是V的一组
标准正交基． 将 11 ,12 , ,1n1 , , r 1 , r 2 , , rnr 的分量依次作 矩阵T的第1，2，…，n列， 则T是正交矩阵，且 使 T AT T 1 AT 为对角形．
( , ) 0
即 , 正交．
§9.6 对称矩阵的标准形
２、
A Rnn , A A, 总有正交矩阵T，使 （定理7）对
T AT T 1 AT diag(1 , 2 ,, n ).
证：设A为 R n上对称变换 在标准正交基下的矩阵． 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
§9.6 对称矩阵的标准形
2
1 1 1 1 1 1 2 ( 1)3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1
( 1)3 ( 3)
A的特征值为 1 1 （三重）, 2 3 其次求属于 1 1 的特征向量，即求解方程组
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
§9.6 对称矩阵的标准形
对 R n 的维数n用归纳法． n=1时，结论是显然的． 假设n－1时结论成立，对 R n , 设其上的对称变换 有一单位特征向量 1 ，其相应的特征值为 1 ，即
(1 ) 11 ,
| 1 | 1
设子空间 L(1 ) W , 显然W是 子空间，
§9.6 对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2 x n
满足 A 0 .
§9.6 对称矩阵的标准形
x1 x2 令 , xn
a ji ( j , j ) a ji

n n i , ( j ) i , akj k akj ( i , k ) k 1 k 1

aij ( i , i ) aij
§9.6 对称矩阵的标准形
由 是对称变换，有 ( i ), j i , ( j )
1 1 2 2
再单位化，得
§9.6 对称矩阵的标准形
1 1 1 | | 1 ( 2 , 2 ,0,0) 1
1
1 ( 1 , 1 , 2 ,0) 2 2 | 2 | 6 6 6 3 1 3 ( 1 , 1 , 1 , 3 ) | 3 | 12 12 12 12
nn 设 A R ,
A A
(1) 求出A的所有不同的特征值： 1 , 2 ,, r R,
其重数 n1 , n2 ,, nr 必满足
ni n ; i 1
r
(2) 对每个 i ，解齐次线性方程组 (i E A) X 0
求出它的一个基础解系： i 1 , i 2 ,, in
2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 证：设 为n维欧氏空间V上的对称变换，
1 , 2 ,, n 为V的一组标准正交基，A (aij ) Rnn
为 在这组基下的矩阵，即
( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A
这是特征值 1 1 (三重)的三个单位正交特征向量，
也即是特征子空间 V1 的一组标准正交基．
§9.6 对称矩阵的标准形
再求属于 2 3 的特征向量，即解方程组
§9.6 对称矩阵的标准形
二、对称变换
1、定义
设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
( ), , ( ) ,
2、基本性质
, V ,
则称 为对称变换（symmetric transformation）．
§9.6 对称矩阵的标准形
（1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在
( ) ( 1 , 2 ,..., n )Y ( 1 , 2 ,..., n ) AY ,
又 1 , 2 ,..., n是标准正交基，

( ), ( AX )Y ( X A)Y X AY X ( AY )