第一章解三角形
正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即（其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）．
2）化边为角：；
3）化边为角：
4）化角为边：
5）化角为边：
二.三角形面积
1.
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
2.变形：
注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，，所以为锐角
②若
③若，所以为钝角，则是钝角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：，，；
两边之差小于第三边：，，；
在同一个三角形中大边对大角：
4) 三角形内的诱导公式：
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
解三角形
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( )
2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝ (b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )
3.在△ABC 中，已知|AB |＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →
等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2
4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
B ．2 C. 3
5．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B
sin C
的值为( )
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )
A ．1<x < 5 <x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <25 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos
B 等于( )
A ．－223 C ．－63
8．下列判断中正确的是( )
A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解
B ．△AB
C 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解
D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解
9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )
或32 或3
4
10．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为3
2
，则tan C 为( )
B ．1 C.
3
3
11．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2
)，则角C 的度数是( )
A ．60°
B ．45°或135°C．120° D ．30° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC 中，若sin A a
＝cos B
b
，则B ＝________.
14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3a cos A＝c cos B＋b cos C
(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝23
3
，求边c的值．
18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝33，c＝5，求b.
19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.
20．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知
(1）求的值；
(2）若，求边c 的值.
21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π
3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．
22．如图，在中，点在边上，，，．
(1）求的值； (2）求的长．
解三角形 答案
1．B 2．B ．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．D 10．C 11．C 12．B
13．45° 14．10 3 15．8 6
17．【答案】(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝1
3
(2)由cos A ＝13得sin A ＝223,则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋22
3sin C ，
代入cos B ＋cos C ＝23
3
得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1， 其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A
＝3
2
．
18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π
2，∴B ＝30°.
(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋52
－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b ＝7. 19．【答案】(1)由acosC ＋c ＝b 和正弦定理得，
sinAcosC ＋sinC ＝sinB ，又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，∴sinC ＝cosAsinC ， ∵sinC ≠0，∴cosA ＝，∵0＜A ＜π，∴A ＝. (2)由正弦定理得，b ＝，c ＝sinC ，
则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋(sinB ＋sinC)＝1＋［sinB ＋sin(A ＋B)］ ＝1＋2(sinB ＋cosB)＝1＋2sin(B ＋).
∵A ＝，∴B ∈(0，)，∴B ＋∈(，)，∴sin(B ＋)∈(，1］，
∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3］. 20【答案】（1）由及正弦定理得 即
又所以有即 而，所以
(2）由及0＜A ＜，得A ＝ 因此 由得
即，即得 由知于是或 所以，或
若则在直角△ABC 中，，解得
若在直角△ABC 中，解得
21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.
又因为△ABC 的面积等于3，
所以1
2
ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.
联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
－ab ＝4，
ab ＝4，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.
(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .
联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2＋
b 2
－ab ＝4，
b ＝2a ，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝
23
3，b ＝433.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23
3
.
22．【答案】（1）因为，
所以．
因为，所以． 因为， 所以
．
(2）在△中，由正弦定理，得， 所以．。