空间向量在立体几何中的应用
一：两直线的夹角：
1.当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的角叫
作两直线的夹角．当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．
异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
2. 直线夹角的向量计算方法：
已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上
不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||
cos ||||
AC BD AC BD θ⋅=
⋅.
要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.
例1. 如图所示，在四棱锥P ABCD －中，底面是矩形，⊥底面
. 是
的中点，已知，
，
，求异面直线与
所成的角的大小．
【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为
，求AC 的长．
要点二：平面间的夹角
1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥
l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则1
2l l =R 。

我们把直线
1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角.
2. 平面间夹角的向量计算方法：
设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则
12
1212cos =cos =
.θ⋅n n n n n n ，
两平面的夹角范围是02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，. 3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念
半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面.
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ.
（2）区别：
平面间的夹角 二面角 构成 面-线-面
半平面-线-半平面
范围 02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， []0π，
表示法
语言叙述
语言叙述或符号表示
例2. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，
AF AB BC FE
====1
2
AD，求平面ACD和平面CDE的夹角的余弦值.
变式：如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC
=，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PB⊥平面EFD；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
三：直线和平面的夹角
1.斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.
如图，l 是平面α的一条斜线，斜足为O ，OA 是l 在平面α内的射影，POA ∠就是直线l 与平面α的夹角.
（1）直线和平面所成角的范围是02π
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，.
（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线 和这个平面内所有直线所成角中最小的角；
2. 线面角的向量计算方法
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，
a 与u 的角为ϕ，则有||
sin |cos |||||
θϕ⋅==
⋅a u a u .
例3. 如图，在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．
变式:四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ABC =∠，2AB =，
22BC =，侧面SBC ⊥底面ABCD ．3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．
D
B
C
A
S
变式:如图，四棱锥P ABCD -中，AB AP =，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，4AB AD +=，CD =
2，
45CDA ∠=︒．若直线PB 与平面PCD 所成的角为
︒30，求线段AB 的长.
习题1：如图，在ABC ∆中，ABC ∠︒=60，90,BAC ∠=︒AD BC 是上的高，沿AD 把
ABD 折起，使0
90BDC ∠=. 设E 为BC 的中点，求AE
与DB 夹角的余弦值.
习题2：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，D E 、分别为11AA B C 、的中点，DE ⊥平面1BCC ，若平面ABD 和平面BCD 为60°,求1B C 与平面BCD 的夹角的大小.。