数学建模在材料科学中的应用举例
现代科学技术发展的一个重要特征是各门科学技术与数学的结合越来越紧密。

数学的应用使科学技术日益精确化、定量化，科学的数学化已成为当代科学发展的一个重要趋势。

数学模型是数学科学连接其他非数学学科的中介和桥梁，它从定量的角度对实际问题进行数学描述，是对实际问题进行理论分析和科学研究的有力工具。

数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化，抽象为一个数学问题或数学模型，然后采用适当的数学方法求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。

计算机技术的发展为数学模型的建立和求解提供了新的舞台，极大地推动了数学向其他技术科学的渗透。

材料科学作为21世纪的重要基础科学之一，同样离不开数学。

通过建立适当的数学模型对实际问题进行研究，已成为材料科学研究和应用的重要手段之一。

从材料的合成、加工、性能表征到材料的应用都可以建立相应的数学模型。

有关材料科学的许多研究论文都涉及到了数学模型的建立和求解，甚至产生了一门新的边缘学科——计算材料学（Computational Materials Science），正是这些数学手段才使材料研究脱离了原来的试错法（Trial or Error）研究，真正成为一门科学。

以下给出一些与材料科学有关的具体建模实例。

例1：金属中空位形成能建模研究
1）建模准备
金属中空位研究的重要性，研究空位缺陷的形成能。

高能粒子对材料性能的影响，尤其是反应堆的金属材料在高能粒子的辐射作用下，性质如何变化，如何保证其安全运行？
固体受辐射后产生三种效应：电离、蜕变和离位(产生空位和填隙粒子)，其中离位是金属中最主要的辐照效应。

空位形成的模型
1－形成空位
2－蒸发
3－形成填隙原子
2）建模假设与模型构造
a. 金属材料为晶体，晶体为面心立方结构，原子间的交互作用限于最近邻；
b. 空位的形成能定义为：从晶体内部取出一个原子放到晶体表面所需的能量；
c. 为不显著影响晶体表面的形状，取出的晶体放在晶体表面的台阶。

3）模型求解和模型分析
面心立方体（配位数为12）取出离子要割断12个键，而在表面台阶处放置一个原子，要形成6个鍵，因此净效应为割断6个鍵，其能量净效应等于晶体的结合能。

结论：空位形成能与结合能间有密切的关系。

4）模型检验
结合能愈大，熔点愈高，则空位形成能愈大。

结论基本符合实验事实。

实际空位形成能只有结合能的1/2－1/4－－未考虑金属鍵的特征和空位周围原子的位移。

需重新建模。

➢ 从内部取出正离子的情况
◆ 从晶体点阵中取出一个正离子，设所带正电荷均匀散布于晶体中以抵消它的
价电子，使整个晶体仍保持电中性，形成穴位静电效应。

◆ 对于单价金属，空位的静电效应，即空位的附加电荷为-Ze(Z=-1)，引起导带
电子的屏蔽效应。

达到平衡后，空位周围只保留局部的干扰电势(Vp)。

◆ 设导带的电子浓度为n ，静电能的增加等于nVp
式中：r 表示积分元到空位中心的距离 R 表示积分区域的半径。

根据电子屏蔽模型：Vp 与Z 应满足关系
式中：N 0(E m )表示晶体导带在费米能级E m
从式(1-1)和(1-2)中消去积分，可得：
对于自由电子：
这里C 是一个常数，将式
(1-4)、(1-5) 代入(1-3)，则：
➢ 正离子放在表面台阶 由于自由电子气的膨胀，造成费米能的下降。

由式(1-5)，即：
式中：N 为晶体中的原子数，V 若体积膨胀了ΔV ，费米能级的变化ΔEm 。

对式(1-7)两边取微分
⎰⎰⎰===R p R R p p dr
r V n r d nV dv nV E 0200314)34
(ππ⎰-==-r
p m Z dr r V E N 0201
4)(π)(01m E N n
E =
2
1
0)(CE
E N =0
0)(E dE E N n M
=⎰
)
E (N n E m 01=
M
E E 32
1=2
3
2
1032)(M
E E CE dE E dE E N n M M
===⎰
⎰
3
2
32
23(23(CV
N C n E M ==V C
N E M
∆=∆-)23(3
2
3
2
对式(1-7)两边取微分，得：
由模型可知，ΔV 等于一个原子体积，ΔV/V
为(3/5)E M,，因此总的费米能变化为：
因此，在此模型下，即考虑取出原子后的内部能量变化E 1和放置在台阶上的能量变化E 2后，E 1和E 2相加就等于空位的形成能：
重新建模结果：
E= 4/ 15 Em 空位形成能（实验值与理论值的对照） 若考虑到空位周围的原子略有松驰，可能降低能量，因而有第三项E3，比
如对铜的估计值为-0.3eV 。

这样，E1、E2、E3三项的迭加就近似等于实验值。

5）模型应用
V
V E E M
M ∆-=∆32M
M E E E 5
253322-=⨯-=M
M M E E E E E E 154
523221=-=+=
根据模型可求解空位浓度：
式中：c 为平衡状态下的空位深度；
U f 为空位形成能；
S f 为形成一个空位改变了周围原子振动所引起的扰动熵； k 为玻尔兹曼常数； T 为热力学温度。

例2：在炼钢渗碳工艺过程中通过平衡理论找出：控制参量与炉气碳势间的关系 甲醇加煤油气氛的渗碳工艺中，炉气碳势与CO 2含量的关系。

理论分析
钢在炉气中发生如下反应：
C Fe + CO 2 = 2 CO
式中：C Fe 为钢中的碳。

根据化学反应平衡原理，可以求出该反应的平衡常数K ：
式中：αc 为碳在奥氏体中的活度； αc =w c /w c(A),
w c(A)为奥氏体中饱和碳含量，Wc 为奥氏体中的实际； Pco 和Pco 2为平衡时co 和co 2的分压。

)
exp()exp(kT U
A kT TS U C f f f -=--=c co co
P P K α22
=
K
p p co co
c lg lg lg 2
2
-=αK p w co c lg lg lg 2-=
通过理论推导，将相关参数代入即可求得碳势与炉气CO 、CO2含量及温度的关系。

式中：P 为总压，设P=1atm;
αc 为碳在奥氏体中的活度；αc =w c /w c(A),
w c(A)为奥氏体中饱和碳含量，Wc 为奥氏体中的实际碳含量； Pco 和Pco 2为平衡时co 和co 2的分压； φco 和 φco2平衡时co 和co2的体积分数。

式中：Cc 表示平衡碳浓度，即炉气碳势; C c(A)表示加热温度T 时奥氏体中的饱和碳浓度；
在温度一定时，K 和C c(A)为常数，如不考虑CO 及其它因素的影响，将ϕco
等视为常数，可得出：
式中：A 为常数 对
取对数，得：
令lgCc=Y , lg ϕco2=x,系数为b ，可得：
利用实验数据进行回归分析，得到回归方程：
将参数进行还原，即得到碳势控制的单参数数学模型为：
计算机技术的发展为数学模型的建立和求解提供了新的舞台，极大地推动了数学向其他技术科学的渗透。

有关材料科学的许多研究论文都涉及到了数学模型的建立和求解，甚至产生了一门新的边缘学科——计算材料学（Computational Materials Science ），使材料研究脱离了原来的试错法（Trial or Error ）研究，真正成为一门科学。

c
co co
c co co P
P P K αϕϕα2222==2
21co co c K ϕϕα=)
(A c
c Cc C =α2
2
)(co co
A c c K C c ϕϕ=
2
1
co c A c ϕ=2
1co
c A
c ϕ=2
lg lg lg co c b A c ϕ-=bx
a y -=x
y 3874.02278.0--=23874.05918
.0co c c ϕ=。