2 3
V kS
3/ 2
v ks
3/ 2
V n v
3/ 2
应用
V n ( nv) nv
V是 nv是 n 倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 1.4 公斤馅
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
开展数学建模教学的目的
1.培养学生的数学素质和创新能力
• 培养学生分析问题和解决问题的能力 • 培养学生的想象力 • 培养学生的洞察力
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
数学建模竞赛
数学建模竞赛的开展情况
• 20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模 教材较集中地出现在70年代）。
• 20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版 第1本教材（《数学模型》，姜启源编，高教社）； 80年代末估计30~40所学校开课（数学系，讲座）。
• 1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办， 1989 年我国大学生开始参加这项竞赛。 • 1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，1999 年有26省（市、自治区）460所学校参加。
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模型的求解
方程是一个一阶线性非齐次方程，其解为：
1300 16w0 1300 w(t ) e 13 16
1300 1300 lim w(t ) , 记w* t 16 16
16 t 10000
1300 人体的体重能达到平衡状态 w* 16
结果分析
进食量 新陈代谢

2
) g ( ), g (
)
f ( )
• 不妨设
g (0) 0, f (0) 0
建立数学模型(化为数学命题）
设 f ( )和g ( ) 是 的连续函数， g (0) 0, f (0) 0 , 且对任意 ，有 f () 0, g () 0
f ( ) g ( ) 0
x(t ) x 0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
1300 2500 1200 w* 16 16
与体重有关的因素：
运动量
减肥的方法：
1 控制饮食 2 调节内分泌 3 加强运动
1
2
进食量
新陈代谢
3
运动量
1.3.3 如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
• 数学建模竞赛与教学相互促进，估计目前开课的 学校约400所（各专业，必修课，选修课，讲座）。
全国大学生数学建模竞赛
• 全国高校规模最大的课外科技活动
• 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)
年份
1992 1993 1994 1995 1996 1997
省（市、自治区）数
10 16 21 23 25 26
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
数学建模方法：机理分析和测试分析
数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
x(2000 ) 274 .5
模型的假设
1 每天的进食量是2500卡 2 每天用于基本新陈代谢(即自动消耗)的 热量是1200卡 3 在健身训练中，他每天消耗的热量大约是 16卡/kg乘上他的体重(kg)
4 假设以脂肪的形式贮藏的热量100%地有
效，而1kg脂肪含热量10000卡， 5 体重是时间t的函数w(t)，假定w(0)=w0
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
h( ) f ( ) g ( ) g ( ) f (0) 0 2 2 2 2
由介值定理，必存在 0 (0, 即 但 故 即
f ( 0 ) g ( 0 )

2
)
使 h( 0 ) 0
假设条件的本 质与非本质 考察四脚呈长 方形的椅子
f ( 0 ) g ( 0 ) 0
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
dx rx dt
沈阳航空 工业学院
• 什么是数学建模 • 数学建模举例 • 数学建模竞赛
从包汤圆（饺子）说起
从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
•问题的提出
把椅子放在不平的地 面上，通常只有三只脚着 地，放不稳，然而只要稍 挪动几次，就可以使四脚 着地放稳了。这个看来似 乎与数学无关的现象能用 数学语言给出表述，并用 数学工具来证实吗？
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0பைடு நூலகம்
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
f (


2
) g ( ) g ( ) f ( )
2

则存在
0 (0 0 ),
2
使
f ( 0 ) g ( 0 ) 0
模型求解
令h( ) f ( ) g ( )，则h( )在[0， ]上连续，且 2

h(0) f (0) g (0) f (0) 0
• 培养学生的判断力
•培养学生的创新意识
2. 培养学生用数学的能力， 探索数学教学改革的途径
• 数学教育应该培养学生两种能力：“算数学” （计算、推导、证明…）和“用数学”（实际问 题建模及模型结果的分析、检验、应用）； • 传统数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者； • 数学建模引入教学是不打乱现有体系下的教改实验。
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。