2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题1．（3分）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为．2．（3分）设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁U A）∪（∁U B）＝．3．（3分）若集合，则集合S的非空真子集的个数为．4．（3分）命题“若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是．5．（3分）对于n∈Z，若，则p是q的条件．6．（3分）以下三个条件：（1）b＞0＞a；（2）0＞a＞b；（3）a＞b＞0，其中能使不等式成立的序号是．7．（3分）关于x的不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0的解集是．8．（3分）若关于x的不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的取值范围是．9．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为．10．（3分）不等式的解集用区间表示为．11．（3分）如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是．12．（3分）在R上定义运算：x*y＝（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是．二、选择题13．（3分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 14．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式不成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0C．ab＜ab2D．ac（a﹣c）＜0 16．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，求实数x的值．18．不等式．19．若关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R，求k的取值范围．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．（1）若a＝1且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．四、附加题：21．设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．请解答下面的问题：（1）证明：1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）问2005是否为集合A的元素．2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为{x|x＝3k+1，k∈N}．【分析】利用集合的描述法的定义即可解题．【解答】解：被3除余数等于1的自然数可以表示为：x＝3k+1，其中k∈N，所以用描述法可表示为：{x|x＝3k+1，k∈N}，故答案为：{x|x＝3k+1，k∈N}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．2．（3分）设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁U A）∪（∁U B）＝{0，1，4}．【分析】先分别求出∁U A和∁U B的值，然后再求（∁U A）∪（∁U B）的值．【解答】解：∵∁U A＝{4}，∁U B＝{0，1}，∴（∁U A）∪（∁U B）＝{4}∪{0，1}＝{0，1，4}．故答案：{0，1，4}．【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意集合的运算法则，合理地选取公式．3．（3分）若集合，则集合S的非空真子集的个数为254．【分析】根据集合S即可得出S＝{﹣4，﹣1，0，1，3，4，5，8}，然后便可得出集合S 的非空真子集的个数．【解答】解：∵S＝{﹣4，﹣1，0，1，3，4，5，8}，∴集合S的非空真子集的个数为28﹣2＝254．故答案为：254．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合子集个数的计算公式，非空真子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）命题“若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是若a，b 都小于1，则a+b＜2．【分析】根据逆否命题的等价性进行求解即可．【解答】解：∵互为逆否命题的两个命题为等价命题，∴命题的等价命题为：若a，b都小于1，则a+b＜2，故答案为：若a，b都小于1，则a+b＜2【点评】本题主要考查四种命题关系的应用，结合互为逆否命题的等价性一致是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）对于n∈Z，若，则p是q的必要不充分条件．【分析】令p：A＝{x|x＝}，q：B＝{x|x＝}，结合集合的包含关系即可判断．【解答】解：由题意可知p：A＝{x|x＝}，q：B＝{x|x＝}，因为当n∈Z，则3n±1表示被3除余1或被3除余2的整数，∴B⫋A，故q⇒p，p推不出q，故p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础试题．6．（3分）以下三个条件：（1）b＞0＞a；（2）0＞a＞b；（3）a＞b＞0，其中能使不等式成立的序号是（1）（2）（3）．【分析】利用不等式的基本性质逐个判断即可得出结论．【解答】解：对于（1），由b＞0＞a可知，，符合题意；对于（2），由0＞a＞b可知，0＜﹣a＜﹣b，则，故，符合题意；对于（3），由a＞b＞0可知，，符合题意．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题主要考查不等式基本性质的运用，属于基础题．7．（3分）关于x的不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0的解集是[，]．【分析】把不等式化为（3x﹣1）（7x﹣1）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0可化为（3x﹣1）（7x﹣1）≤0，解得≤x≤，所以该不等式的解集是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．8．（3分）若关于x的不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的取值范围是．【分析】先将分式不等式进行化简，然后转化成[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0的解集是{x|x ＜1或x＞2}，从而[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解为x＝1或2，建立等式，解之即可．【解答】解：不等式可转化成等价与[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0的解集是{x|x＜1或x＞2}，∴[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解为x＝1或2∴x＝＝2即a＝故答案为【点评】本题主要考查了分式不等式求解，解题的关系分析出[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解集为x＝1或2，属于中档题．9．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为a≤2．【分析】先求不等式的最值，再根据题意求参数．【解答】解：∵|x﹣1|+|x+1|≥|x﹣1﹣（x+1）|＝2，∴若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．10．（3分）不等式的解集用区间表示为．【分析】将分式不等式右边的常数移项，通分，化简后可得，再利用穿针引线法求解即可．【解答】解：由得，即，即，即，解得或或x＞2．故答案为：．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查化简求解能力，属于基础题．11．（3分）如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是41.4%．【分析】平均增长率为x，今年的产量为M，M（1+x）2＝2M，由此能求出结果．【解答】解：平均增长率为x，今年的产量为M，M（1+x）2＝2M，（1+x）2＝2，1+x＝±，x1＝﹣1﹣（舍去），x2＝≈0.414＝41.4%．所以平均增长率至少为41.4%．故答案为：41.4%．【点评】本题考查明后两年每年的平均增长率的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．12．（3分）在R上定义运算：x*y＝（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是（﹣，）．【分析】由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＜1对于任意的x都成立，变形整理可得y2﹣y ＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，构造函数g（x）＝x2﹣x+1，只要y2﹣y＜g（x）min即可．【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＝[1﹣（x﹣y）]（x+y）＝（x+y）（1﹣x+y）＜1对于任意的x都成立，即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，设g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，所以，g（x）min＝，所以y2﹣y＜，所以﹣＜y＜，所以实数y的取值范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．二、选择题13．（3分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B＝{x|x≥1或x≤0}，∴∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}，故选：D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．14．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：由a+b＞4不能推出a＞2且b＞2，由a＞2且b＞2能推出a+b＞4，所以a+b＞4是a＞2且b＞2的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．15．（3分）如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式不成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0C．ab＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【分析】根据条件即可得出a＞0，c＜0，b﹣c＞0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，从而可判断选项A，B，D都成立，从而不成立的只能选C．【解答】解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0，b﹣c＞0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，∴ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，∴ab＞ac，即A成立；c（b﹣a）＞0，即B成立；ab＜ab2不成立，比如b＝0时，即C不成立；ac（a﹣c）＜0成立，即D成立．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，考查了计算能力，属于基础题．16．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：不等式|x﹣m|＜1等价为m﹣1＜x＜m+1，∵不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，∴，即，解得，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．三、解答题17．已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，求实数x的值．【分析】根据集合的包含关系，求解．【解答】解：∵集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，∴x2＝3 或者x2＝x，解之得x＝0或或1，由集合中元素的无序性，不重复性代入检验可知，当x＝1时，A＝{1，3，1}矛盾，舍去，故x＝0或．【点评】本题考查集合的包含关系，属于基础题．18．不等式．【分析】先去掉绝对值符号，再进行解不等式．【解答】解：∵不等式．∴或者，移项通分得或者，解之得或，故答案为：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．19．若关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R，求k的取值范围．【分析】分k﹣1＝0及k﹣1≠0两种情况讨论即可得解，二次式要大于0恒成立，则需开口向上，且判别式小于0即可．【解答】解：当k﹣1＝0，即k＝1时，2＞0恒成立，符合题意；当k﹣1≠0，即k≠1时，则，解得1＜k＜9．综上，实数k的取值范围为[1，9）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．（1）若a＝1且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）先分别求出p，q所对应的不等式解集，然后求出两集合的解集即可求解；（2）根据充分必要条件与集合之间包含关系进行转化即可求解．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0可得a＜x＜3a，当a＝1时，设p：{x|1＜x＜3}，由实数x满足可得，2＜x≤3，∵p、q同时为真命题，所以即2＜x＜3，故x的范围（2，3）；（2）因为q是p的充分不必要条件，所以q⇒p，即{x|2＜x≤3}⊆{x|a＜x＜3a}，所以，解可得1＜a≤2，故a的范围为（1，2]．【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，集合的包含关系的应用，体现了转化思想的应用．四、附加题：21．设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．请解答下面的问题：（1）证明：1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）问2005是否为集合A的元素．【分析】（1）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：A的元素个数不小于3；若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．若a∈A，则a的所有因子都属于A．逐一分析1，2，3，4，5与集合A的关系，可得结论；（2）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：A的元素个数不小于3；若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．若a∈A，则a的所有因子都属于A．分析2005与集合A的关系，可得结论．【解答】证明：（1）1是任何正整数的因子，故1∈A，若a为偶数，则2是a的因子，此时2∈A，若a，b均为大于1的奇数，则1+ab为偶数，则2是1+ab的因子，此时2∈A，综上2∈A，若a是3的倍数，则3是a的因子，此时3∈A，若a，b均为大于1的不是3的倍数的数，则1+ab∈A或1+a（1+ab）∈A且为3的倍数，此时3∈A，综上3∈A，由2∈A，故：1+2×3＝7∈A；1+2×7＝15∈A，5是15的因子，∴5是集合A的元素，由3∈A，5∈A，得：1+3×5＝16∈A，故16的因子4∈A．综上，1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）由2∈A，3∈A，4∈A，5∈A，则1+2×3＝7∈A，1+2×7＝15∈A，1+2×15＝31∈A，1+4×31＝125∈A，1+4×125＝501∈A，1+4×501＝2005∈A．∴2005是集合A的元素．【点评】本题考查集合的元素的判断，考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，是中档题．第11页（共11页）。