FC D 一、考点分析：矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。
二、教学目标：1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容正方形巩固练习例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD 上一动点.（1）AF 与FC 相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置.【解】（1）AF 与FC 相等,其理由如下：可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,13=.例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF ，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法．【解】小红的发现是正确，其理由如下：连接BP,延长DP 交EF 于Q.（1）∵四边形ABCD 是正方形∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45°∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ， ∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形∴PB=EF,∴PD=EF（2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形∴AE=PE,CF=PF∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB （为定值）（3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF A B C D 第28题图 FE∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF∴∠PEF=∠FPQ又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90°∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF.【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形∴可证△PEF ≌△RDF∴∠PEF=∠PDR又∵∠DPR=∠EPQ而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90°∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF.课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．梯形回顾梯形性质及判断定理 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下 底）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.高：两底间的距离叫做梯形的高.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：图1A D CB E 图2 BC ED A F P F（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．例1．如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB ＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．例3：如图 4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.练习3：1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质：AD∥BC.（2）两腰相等：AB=CD.（3）两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.（5）两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.等腰梯形的判断例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC ．∵ AC=BD ，∴ DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又 AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴ AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．例3（补充）已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD 于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成AECD的画图．画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．.②延长BE到C使EC=4cm.③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．四边形ABCD就是所求的等腰梯形．解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．cm．答：梯形周长为26cm，面积为242例5：.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积. （方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. ）课后练习1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）。