循环平稳过程以及信号处理理论绪论• 通信、遥测、雷达、声呐等系统中许多信号，其统计特征参数是时间变化的，这类信号称为循环平稳信号(cyclostationary signal)• 例如调制信号，雷达扫描信号，还有一些自然的，如水文数据，海洋数据，人体心电图等都具有循环平稳性质。

• W. A. Gardner*的谱相关理论是标志循环平稳信号处理理论的成熟，其数学工具是循环相关函数和循环谱相关函数。

• *W. A. Gardner, L. E. Franks, Characterization of cyclostationary random signal processes, IEEE Trans Information Theory, 21: 4-14, 1975.• F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier; "Theory of stochastic resonance in signaltransmission by static nonlinear systems"; Physical Review E 55, 1478-1495 (1997).• X. Godivier, F. Chapeau-Blondeau; "Noise-assisted signal transmission by a nonlinearelectronic comparator: Experiment and Theory"; Signal Processing 56, 293-303 (1997).• F. Duan, F. Chapeau-Blondeau, D. Abbott; "Noise-enhanced SNR gain in parallel array ofbistable oscillators"; Electronics Letters 42, 1008-1009 (2006).2.1一般理论框架（动态静态系统都适合）强调我们的系统划分规则静态指无记忆系统，而动态指有记忆的系统。

这里设任意一系统的输入为)()()(t t s t x η+=，)(t s 表示周期为s T 的周期信号，而)(t η是稳态随机噪声。

我们把系统输出)(t y 看成是它的非稳态均值)]([t y E 与围绕均值的稳定波动)(ˆt y的和，即 )]([)(ˆ)(t y E t yt y += 2-1 由于输入信号)(t s 的周期性，系统输出)(t y 一般也是周期为s T 的循环平稳信号，非稳态均值)]([t y E 是周期s T 的确定性信号，那么引入傅里叶变换系数n Y这里整数,...2,1,0=n ，表示了谐波频率倍数。

为计算自相关函数，固定时间t 和时间延迟τ，得二阶非稳态相关函数)]([)]([)](~)(~[)]()([τττ+++=+t y E t y E t y t y E t y t y E 2-3此期望函数含有两个变量时间t 和时间延迟τ，同样具有周期性。

为构造稳态的自相关函数，我们进行时间平均可以得到)(ty 的自相关函数)(τyy R其中，自协方差)(τyy C 为那么，依据维纳辛钦定理，)(t y 的功率谱密度)(v P yy ,即是)(τyy R 的傅里叶变换其中τττττπτπππτπτππτπd e dteeY eY T d e dt eY eY T d e dt t y E t y E T v j j ktj k T ntj n sv j kt j k T ntj n sv j T ssk sk ssn sT k ssT n s222022)(2022011)]([)]([1-∞∞--+∞∞--∞∞-∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑⎰⎰==+由Parseval 定理，当k n =时，*2022||||1n n n T t j n sY Y Y dt eY T sT n ==⎰π而当k n ≠时，t j Tn eπ2与tj keπ2是正交基，0122=⎰dt eeT sT kT n T tj tj sππ而对于信号t j Tn eπ2的Fourier 变换为)(22T nv j j v d een-=-∞∞-⎰δττπτπ由此得出2-6式。

由式2-6可以看出)(t y 的功率谱密度为在宽带噪声谱)]([τyy C F 背景下，在s T /1的整数倍值上（谐频上）叠加了相关谱线。

其次分析)(τyy C ，由于自协方差0)](~)(~[lim ||=+∞→ττt y t y E那么由于)(t y 的非稳态方差)](ˆ)(ˆ[)](var[t y t yE t y =，进行时间平均则为)](var[)](var[1)0(0t y dt t y T C Tsyy ==⎰，那么)(τyy C 可以写为2-7)(τh =)(τyy C /)0(yy C 为归一化稳态自相关函数，是偶函数，其Fourier 变换为)()]([v H h F =τ。

那么2-6式可以重新写为输出信噪比)/(s out T n R 定义为谱线s T n /上的信号功率与以谱线s T n /为中心的附近频带B ∆内噪声功率的比值，即2.2静态系统的离散实现考虑无记忆的静态系统，其输入输出转换为)],()([)(t t s g t y η+= 2-10这里g 是任意实函数，设)(t η是白噪声，概率密度为ηf ，分布函数为⎰∞-=udx x f u F )()(ηη。

噪声的自相关函数为)(2)]()([)(τδτηητηηD t t E R =+=这样导致噪声具有无限大的功率)0(ηηR ，实际上，白噪声近似有一个小但是非零的相关时间c τ，这样其功率很大但是有限，使得D R c 2~)0(τηη条件成立。

这里对于输入为白噪声来说，数值模拟中，若采样时间步长为s T t <<∆，s T t N =∆，对于离散采样白噪声)(t j ∆η，其自相关函数变为)()]()([)(2t k t t k t j t j E t k R ∆∆=∆+∆∆=∆δσηηηηη 2-11离散的Dirac 函数定义为⎩⎨⎧≠=∆=∆0,00,/1)(k k t t k δ 那么功率谱密度为t D ∆=22ησ由于噪声为白噪声，那么静态非线性)(x g 的输出)(t y 和)(τ+t y 也具有非相关性，0≠τ。

那么，当0≠k 时二阶矩)]([)]([)]()([t k t j y E t j y E t k t j y t j y E ∆+∆∆=∆+∆∆当0=k 时，二阶矩)]([)](~[)]()([22t j y E t j y E t j y t j y E ∆+∆=∆∆在任意给定时刻t j t ∆=，输入)()(t t s η+的概率密度函数可以表示为)(s u f -η，那么我们可以求解一阶矩⎰∞∞--=du t s u f u g t y E )]([)()]([η二阶矩⎰∞∞--=du t s u f u g t y E )]([)()]([22η非稳态方差)]([)]([)](ˆ)(ˆ[)](var[22t y E t y E t y t yE t y -==， 因此，我们将)]()([t k t j y t j y E ∆+∆∆可以写成)]([)]([)()](var[)]()([t k t j y E t j y E t k t t j y t k t j y t j y E ∆+∆∆+∆∆∆=∆+∆∆δ 2-12对于时间t j t ∆=求时间平均得到稳态自相关函数)]([)]([1)()var()]([)]([1)()](var[1)(111111t k t j y E t j y E Nt k t y t k t j y E t j y E Nt k t t j y Nt k R N j N j N j y ∆+∆∆+∆∆=∆+∆∆+∆∆∆=∆∑∑∑-=-=-=δδ2-13这里时间积分∑∑⎰-=-==∆*∆=*11110*111N j N j T Nt t N dt T ，因此稳态自协方差)()var()()var()(t k h y t k t y t k C y ∆=∆∆=∆δ同样地，为了观测频域特征，将均值的Fourier 系数表示为∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆=112exp )]([1N j n N jn i t j y E NY π 这里离散周期Fourier 变换]2exp[*1]2exp[1]2exp[111110Njni N t t j t N n i t N dt t T n i T N j N j T πππ-=∆∆∆-*∆=-*∑∑⎰-=-= 同样将自相关函数)(t k R y ∆进行离散Fourier 变换t MNkli t k R t k R DFT MN MNk y y ∆-∆=∆∑--=1]22exp[)()]([π这里Fourier 变换为t t k tMN li d v i MN MNk ∆∆∆-=-∑⎰--=∞∞-1]22exp[*]2exp[*πττπ这里无穷积分上下限用MT 2周期来代替，那么频率分辨率为)2/(1)2/(1t MN MT v ∆==∆，]1,[--∈MN MN l ，v l v ∆=。

那么v Y t y Y Y t MN t y T n P t MN jljl kl i t k t j y E t j y E Nt MNkli t k y t MN kli t k R t k R DFT n n n MN MNk N j MN MN k MN MNk y y ∆+∆=∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆-+-∆+∆∆+∆-∆=∆-∆=∆∑∑∑∑--=-=--=--=1||]var[2]var[]22exp[)]([)]([1]22exp[)(]var[]22exp[)()]([2*1111ππδπ2-14第一项是由于只有0=k 时，t t k ∆=∆/1)(δ，后面的项计算参考文献[XGodivier, F. Chapeau-Blondeau, Noise-assisted signal transmission in a nonlinear electronic comparator, Signal Processing, 56:293-303, 1997]中利用∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=122exp MN MNk MN kl i W π的一些性质证明。

由公式2-14可以看出，功率谱为一个常数背景t y ∆]var[上，谱线T /1以及其谐频T n /。