第十章 组合变形10-2 图a 所示板件，b =20mm ，=5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[] = 100 MPa ，试求板边切口的允许深度x 。

题10-2图解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为F F =N)(a b F M -=(a) 显然， 222xb x b a -=-=(b)将式(b)代入式(a)，得 2FxM =切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为22Nmax 432(2a)6 22a Fxa F Fx a F W MA F δδδδσ+=+=+=根据强度要求，在极限情况下， ][4322σδδ=+a Fxa F将式(b)与相关数据代入上式，得01039.61277.042=⨯+--x x由此得切口的允许深度为m m 20.5=x10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为aε=×10-3与b ε=×10-3，材料的弹性模量E =210GPa 。

试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。

题10-3图解：1.求a σ和b σ截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有MPa 84Pa 104.010210 MPa210Pa 100.1102103939=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯==--b b a a E εσE εσ偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。

图10-3 2．求F 和e将F 平移至杆轴线，得Fe M F F ==，N 于是有a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σzb =-= 代入相关数据后，上述方程分别成为26250240=+Fe F 10500240=-Fe F经联立求解，于是得mm 786.1m 10786.1kN 38.18N 183753=⨯=≈=-e F ，10-6 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷F 作用。

试证明：当8/d e ≤时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R = d/8的圆形区域。

题10-6图证明：此为偏心压缩问题。

载荷偏心产生的弯矩为Fe M = 受拉区的最大拉应力为 A F W M σ-=max t, (a) 横截面上不存在拉应力的条件，要求式(a)小于或等于零，即要求23π4π32d F d Fe ≤ 由此得8d e ≤ 10-7 图a 所示杆件，同时承受横向载荷与偏心压力作用。

已知许用拉应力[t ] = 30 MPa ，许用压应力[c ] = 90 MPa ，h =180mm ，b =60mm ，l =500mm ，试确定F 的许用值。

题10-7图解：固定端处的横截面A 为危险截面，该截面的内力如图b 所示，弯矩为Fh Fl h F Fl h F Fl M y 52102+=+='+= Fb b F b F M z 52102=='= 而轴力则为)( 10N 压力F F F ='=横截面A 的最大拉应力为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=-+=h l bh F bh F bh Fh Fl hb Fb A F W M W M y y z z 325210)5(6)5(622N max t,σ 最大压应力则为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=++=h l bh F bh F bh Fh Fl hb Fb A F W M W M y y z z 335210)5(6)5(622N max c,σ 根据强度条件，要求][3252t max t,σσ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h l bh F ][3352c max c,σσ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h l bh F 将相关数据代入上述二式，分别得kN 86.4][t =FkN 2.11][c =F于是得F 的许用值为kN 86.4][][t ==F F10-8 在图示立柱的顶部，作用一偏心载荷F = 250kN 。

若许用应力[σ]=125MPa ，试求偏心距a 的许用值。

题10-8图解：1.确定内力mN 10251m N 10250050.0050.0m)(N 1050.2kN 250 435N ⋅⨯=⋅⨯⨯==⋅⨯===.F M a Fa M F z y ，2．计算I z ，I y 及A 2324643345433m 1060.5)m 020.0080.02020.0100.0( m 1039.3)m 12020.0080.0212100.0020.0(m 10099.1)m 12080.0080.012120.0100.0( ---⨯=⨯+⨯⨯=⨯=⨯+⨯⨯=⨯=⨯-⨯=A I I y z 3．求a 的许用值由正应力强度条件，要求 ][(Pa) 10]1069.388112[ Pa ]1060.5102501039.3050.0)1050.2(1009910600)10251([ 63336554max c,σa .a ...A F I z M I y M σy y z z ≤⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=++=--- 得偏心距的许用值为mm 28.3m 1028.3][3=⨯=-a10-11 图示曲柄轴，承受载荷F = 10 kN 作用。

试问当载荷方位角θ为何值时，对截面A-A 的强度最为不利，并求相应的相当应力r3σ。

题10-11图解：1.分析内力由于A-A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷F 无需分解，可直接用以分析内力。

根据平衡关系，截面A-A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为θFa T Fl M F F cos mN 700m N 070.01010 kN 103S =⋅=⋅⨯⨯====，由此可见，F 的方位角 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当0=θ时扭矩取最大值，对截面A-A 的强度最为不利，其值为m N 1040.2m N 240.0101033max ⋅⨯=⋅⨯⨯==Fa T2．计算相当应力截面A-A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为 MPa 9.117Pa 101791 Pa 0600π)1040.2(70032832322max 2r3=⨯=⨯⨯+⨯=+=..W T M σ (a)由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面A-A 上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为MPa3.61 Pa 10)72.46.56( Pa )06003π1010160600π1040.216(3π44π16623332S 3max 21=⨯+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯+=+=..d F d T τττ其相当应力为MPa 6.122 MPa 3.6122r3=⨯==τσ (b)比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面A-A 上水平直径的左端点，其相当应力如式(b)所示。

顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求)(ϕσ与)(ϕτ，再求)(r3ϕσ。

这里的ϕ从截面A-A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。

将)(r3ϕσ对ϕ求导，寻找其极值位置，找到的极值位置是0=ϕ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。

10-12 图示某段杆的弯矩M y 与M z图，它们均为直线，且其延长线分别与x 轴相交于a 与b 点。

试证明：如果a 与b 点不重合，则该段杆的总弯矩M 图必为凹曲线。

题10-12图 解：1. 总弯矩方程及其二阶导数在区段（x 1，x 2）内，M y 与M z 图均为直线，因此，可设x k b M y 11+= x k b M z 22+=式中，b 1，k 1，b 2与k 2均为常数。

于是得总弯矩为22221122)()(x k b x k b M M M z y +++=+= (a) 幷由此得2122122)(d d b k b k x M -= (b)2. 总弯矩M 图为凹曲线的证明a 与b 点的横坐标分别为11k b x a -=，22k b x b -=当a 与b 点不重合时，由上式得1221k b k b ≠ 代入式（b ），得 0d d 22>x M 可见，如果某杆段的M y 与M z 图均为直线，且其延长线与坐标轴x 不相交于同一点，则相应总弯矩M 图必为凹曲线。

10-13 图示齿轮传动轴，用钢制成。

在齿轮1上，作用有径向力F y = 、切向力F z = 10 kN ；在齿轮2上，作用有切向力F'y = 5 kN 、径向力F 'z = kN 。

若许用应力[σ]=100 MPa ，试根据第四强度理论确定轴径。

题10-13图解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图10-13a 所示。

内力图（z M ,y M 和T ）分别示如图b,c 和d 。

图10-13 由内力图和题10-12所证明的结论可知，截面B 和-C 都可能为危险面。

对于截面B ，总弯矩为m N 1064m N 364100022⋅=⋅+=B M (a) 对于截面-C ，总弯矩为m N 612m N 56822722⋅=⋅+=－C M(b) 比较式(a)和(b)可知，截面B 最危险。

由第四强度理论的强度条件][π75.03275.032222r4σd T M W T M σB B ≤+=+= 得该轴的直径为mm951m 10195 m 10100π100075.0106432]π[75.03223622322..σT M d B =⨯=⨯⨯⨯+=+≥-10-16 图示钢质拐轴，承受铅垂载荷F 1与水平载荷F 2作用。

已知轴AB 的直径为d ，轴与拐臂的长度分别为l 与a ，许用应力为[]，试按第四强度理论建立轴AB 的强度条件。

题10-16图解：将载荷F 1与F 2平移到截面B 的形心，得轴AB 的受力如图b 所示。

显然，固定端处的横截面A 为危险截面，该截面的轴力、扭矩与弯矩分别为 2N F F =a F T 1=l F M a F M z y 12 ,==可见，横截面A 处于弯拉扭组合受力状态。

在横截面的危险点处，弯曲与轴向正应力分别为 322122222max π32d l F a F W M M z y +=+=σ(a) 22N N π4d F A F ==σ(b) 扭转切应力为 31pmax π16d aFW T ==τ(c) 按照第四强度理论，危险点处的强度条件为()][32max 2max N στσσ≤++将式（a ），（b ）与式（c ）代入上式，于是得][144324π121222122222σ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++d a F d l F a F F d10-17 图示圆截面钢轴，由电机带动。