第十章 组合变形
中国民航大学
2015年5月25日
第十章 组合变形
第一节 概 述 第二节 斜弯曲 第三节 拉伸（压缩）与弯曲组合 第四节 弯曲与扭转组合 第五节 组合变形的普遍情况
10.1 概 述
在外力作用下，构件若同时产生两种或两 种以上基本变形的情况，称为组合变形。 请看实例
拉扭组合
拉弯组合 弯扭组合
M y FP1 2l; M z FP2 l
Mz A点弯曲拉应力最大： t max Wy Wz My Mz ) B点弯曲压应力最大： c max ( Wy Wz My
10.2 斜弯曲（弯弯组合）
斜弯曲情况下，横截面的对称轴一般不是中性轴。
1 z 2 x y 4
2 2
由第四强度理论：
r4 3
2 2
( M N ) 3
2 2
例5 直径为d = 0.1m的圆杆受力 如图,T=7kNm, P=50kN, [］
=100MPa,试按第三强度理论校 核此杆的强度。
T P A P
T
A
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
Mz
P Mz My A Wz Wy
P Mz My A Wz Wy
P Mz My A Wz Wy
10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合 二、偏心压缩
FN P M y P z p M z P y p
P A Py p y Mzy Iz Iz
M 5P 103 500N m
例4 图示钢板受力 P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽
的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？
y N M
20 20
yC
100
z
应力分析如图
N M z max max A I yc
P
孔移至板中间时
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
FN M z y A Iz
FN M z t,max A Wz FN M z c,max A Wz
10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合
固定端处 Mz 最大，该截面为危 险截面，其上的最大应力：
x
Py

t,max
c,max
FN M z max A Wz FN M z max A Wz
10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合 一、弯拉（压）组合
Px P cos Py P sin
产生轴向拉伸
z
x
Py

P
x
产生弯曲变形
y
l
k
c,max
Px
轴力引起截面上的正应力：
FN Px A A
弯矩引起截面上的正应力：
+

=

t,max
总应力：
M z y Py (l x) y Iz Iz
故，安全。
例6 如图所示一圆轴，装有皮带轮
A和B。两轮有相同的直径D=1m和 相同的重量P=5kN。两轮上的拉力 大小和方向如图。设许用应力 [ ]=80MPa，试按第三强度理论来 求所需圆轴直径。
A
5 kN
C
B D
2 kN
300
5 kN
500
2 kN
500
(a)
解： （1）分析载荷 如图（b）所示。 （2）作内力图 如图（c）、（d）、 （e）、（f） 所示。
1.5kN m
A 5 kN
7 kN 4.9 kN 2.1kN 1.5kN m D C B
4.5kN
12.5kN
12 kN
(b)
T
1.5kN m
x
(c)
M C (1.5) (2.1)
2
2
1.5kN m
y
7 kN 4.9 kN 2.1kN 1.5kN m D C B x
2.58 kN m
2 y
10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合
截面核心的应用：
2 d d 2 2 iy iz y* ; z* 16 2 2 iy iz2 d ey1 * 0 ; ez1 * y z 8
h 直线1的截距： 2 I y bh3 12 h 2 2 I z b3h 12 b 2 2 iz iy A bh 12 A bh 12 y* ; z*
1 2 4 3
z
z xP
y
a F
1 2
y
z
M 点 1： F M M P M z y N z y A Wz Wy
My
4 FN
x
3 点 3： 点 2： 点 4： y FN M z M y FN M z M y FN M z M y
剪力 FS = P，可忽略不计 弯矩 M = - P( l – x )
y
l
B
D
Mc
C
扭矩 T = Mc = Pd/2
x
B


M Wz


T Wp

z
x
M Pl
B
P
P
x
B

三个主应力为：
B B
1 1 2 2 4 3 2 2 0


T
Mc x

B
10.4 弯曲与扭转组合
由第三强度理论：
1 3


2 4 2
由第四强度理论：
1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 ) 2 2 2 3 2
确定危险点：D1，D2
max
M z max M y max 29 106 7.76 106 151.5MPa [ ] 3 3 Wz Wy 692.2 10 70.8 10
无偏离时：
max
M max 30 103 4 103 43.3MPa 3 Wz 4 692.2 10
10.2 斜弯曲（弯弯组合） 平面弯曲：
1：所有外力作用在 纵向对称平面内； 2：外力通过弯曲 中心，且与形心主 惯性轴平行；
斜弯曲：
外力通过弯曲中心， 但于形心主惯性轴间 存在一定夹角。
动画：矩形截面梁斜弯曲
Py P cos , Pz P sin
10.2 斜弯曲（弯弯组合）
Py P cos , Pz P sin M y Pz (l x); M z Py (l x)

M yz Iy

Pz p z Iy
10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合 二、偏心压缩
FN P M y P z p M z P y p
P Myz Mz y Ⅰ内的点： A Iy Iz P Myz Mz y Ⅱ内的点： A Iy Iz P Myz Mz y Ⅲ内的点： A Iy Iz P Myz Mz y Ⅳ内的点： A Iy Iz
对于圆截面杆：
r,3
M T M 0.75T r,4 Wz Wz
2 2
2 2
10.4 弯曲与扭转组合 二、弯拉(压)扭组合
危险截面：A截面； 危险点：a点 应力状态：单向拉压+纯剪切
由第三强度理论：
r3 4
2 2
( M N ) 4
例1 已知：矩形截面梁截面宽度b、
高度h、长2l，外载荷FP1和FP2。求： 根部截面上的最大正应力。
解：
悬臂梁在FP1力作用下，在xz 平面内产生平面弯曲；在FP2力作用 下在xy平面内产生平面弯曲。 两种平面弯曲的最大弯矩都在根部截面上，所以 根部横截面上的应力叠加后的最大拉应力和最大 压应力分别为：
2 iy iz2 h e 0 ; e 得1点坐标： y1 z1 y* z* 6
中性轴
同理得2点的坐标：
中性轴
2 iy iz2 b ez 2 * 0 ; ey 2 * y z 6
例4 图示钢板受力 P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽
M B (2.25) (1.05)
2 2
z
A 5 kN
4.5kN
12.5kN
12 kN
(b)
2.48 kN m
按第三强度理论:
Mz
2.25kN m
x
1.5kN m
P 4 50 103 6.37MPa 2 A 0.1
T 16 7 103 35.7MPa 3 Wp 0.1


max(min)
x y
2
(
x y
2
2 )2 x

( )2 2 2 2

r3 1 3 2 4 2
l/2 l/2
D2
D1 P
Py P cos 30 cos15 29kN
M y max
M z max
Pz l 7.76 4 7.76kNm 4 4
29 4 29kNm 4 4 Py l
Pz P sin 30 sin15 7.76kN
10.1 概 述
压弯组合
10.1 概 述 组合变形的研究方法 —— 叠加原理
前提：小变形、线弹性。 叠加原理:杆件在几个载荷作用下产生的总效果,等于各载荷单独 作用产生的效果之和. 求解方法:将载荷分成几组静力等效载荷,他们各自对应一种基本 变形,分别计算杆件在各基本变形下的应力、变形值。 然后叠加，即得原载荷引起的应力、变形。 ①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解； ②内力分析：作每个外力分量的内力图，确定危险面； ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立强度条件。