（3）作剪力图和弯矩图 剪力方程是x的一次函数，故剪力图是一条倾斜的直线，需确定 其上两个截面的剪力值，于是，应选择 A 右 和 B左 为特定截面，计 算其剪力值，绘出此梁的剪力图。
弯矩方程是的二次函数，弯矩图为一条抛物线。为了画出此抛 物线，至少须确定其上三、四个点，如 l ql2 l 3 2 ; x l, M 0 x 0, M 0; x , M ql ; x , M 2 8 4 32 弯矩极值所在处为跨度中点横截面
5.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程
沿梁轴线取 x 轴，坐标 x 表示横截面 在梁轴线上的位置，则各横截面上 的剪力和弯矩可以表示为 x的函数， 即
FQ FQ ( x ) 剪力方程 M M ( x ) 弯矩方程
在集中力、集中力偶和分布荷载的起止点处，剪力方程和弯 矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程 的分段点。若梁内部（不包括两个端部）有n个分段点，则梁 需分为n+1段列剪力、弯矩方程。
y
0 F FQ 0 0M Fx 0
得
M
得
FQ F
C
M Fx
FQ 是横截面上切向分布内力的 合力，称为m-m面上的剪力， 其单位为N。 M是横截面上法向分布内力的合 力偶矩，称为m-m面上的弯矩， 其单位为N ▪ m。
二、剪力和弯矩的正负号规定
剪力：横截面的左段相对右段向上错动时截面上的剪 力为正，或横截面上的剪力绕截开部分顺时针转动时 为正，反之为负。
弯矩：截面的左段相对右段向上错动时截面上的剪力 为正，或横截面上的剪力绕截开部分顺时针转动时为 正，反之为负。横截面处弯曲变形向下凸(或梁的下 表面纤维受拉)时，此横截面上的弯矩M为正，反之为 负。
三、梁内力的计算法则
剪力：横截面上的剪力 ，在数值上等于截面脱离体上所有横 向外力的代数和，即
FQ Fyi (一侧)
若梁上支座反力的数目超过了梁的独立平衡方程数目，因而 仅仅依靠静力平衡条件就不能确定梁的全部支反力，称为静 不定梁。
四、静定梁支座反力的求解
1.简支梁和外伸梁
考虑梁的整体平衡，则
Fb M B 0, FAyl Fb 0, 得FAy l Fa M A 0, FByl Fa 0, 得FBy l 校核 Fy 0, FAy +FBy F 方程可知，AC段梁的剪 力图是一条在x轴上方的水平 直线，CB段梁的剪力图是一条 在x轴下方的水平直线。
由弯矩方程可知，两段梁的弯 矩图均为斜直线。每段分别计 算出两端截面的弯矩值后可画 出弯矩图。 在集中力作用处，剪力图发生 突变，其突变值等于集中力的 大小，从左向右剪力突变的方 向与集中力指向一致，弯矩图 出现“尖角。
左半段脱离体向上的横向力或右半段脱离体向下的横向力在等 式右边取正，反之为负。
弯矩：横截面上的弯矩，在数值上等于截面左半段脱离体或右 半段脱离体上所有外力对该截面形心的力矩的代数和，即
M MeCi (一侧)
对于向上的横向外力，不论在截面的左半段脱离体或右半段脱 离体上，所产生的力矩均取正值；反之，取负值。作用在左半 段脱离体上的外力偶矩，顺时针转向的产生正号的弯矩，反之， 产生负值弯矩；作用在右半段脱离体上的外力偶矩，逆时针转 向的产生正号弯矩，反之，产生负值弯矩。
例5-5 一外伸梁如图所示，列出剪力方程和弯矩方程，并作出 梁的剪力图和弯矩图。
解:（1）求支座反力,列平衡方程。
M
B
0 得 FAy 3.6kN
用平衡方程
F
M
A
0 得 FBy 1.9kN
y
0 校核。
（2）确定分段点，给梁分段。 A、D应作为分段点，梁应分为CA、AD和DB三段。
Fb AC段 FQ ( x1 ) FAy (0 x1 a ) l Fb M ( x1 ) FAy x1 x1 (0 x1 a ) l Fa CB段 FQ ( x2 ) FBy ( a x2 l ) l Fa M ( x2 ) FBy (l x2 ) ( l x2 ) ( a x2 l ) l
第五章 弯曲内力
5.1
5.2 5.3
概述
梁的剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力
图和弯矩图
5.4 荷载、剪力和弯矩的关系
5.5
用叠加法作梁的弯矩图
本章小结
5.1
概述
一、弯曲的概念与实例
直杆所承受的外力是作用线垂直于杆轴线的外力（即横向 力）或力偶，在这些外力作用下，杆件的变形是任意两横截面 绕垂直于杆轴线作相对转动，形成相对角位移，同时杆的轴线 也将变成曲线，这种变形称为弯曲。凡以弯曲为主要变形的构 件，通常称为梁。 若梁上所有外力(包括外 力偶)都作用在梁的纵向对称 面内，梁变形后的轴线必定 是一条与外力位于同一平面 内的平面曲线，称这种弯曲 后轴线为一平面曲线，且该 曲线所在平面与外力作用面 重合的变形为平面弯曲。
二、梁的计算简图
1．梁的几何形状与尺寸的简化
梁的轴线代替梁，并在计算简图中将其用一条较粗的实线表示。
2．荷载的简化
(1) 分布载荷 若载荷是沿着梁的轴线连续分布在一段较长的 范围内，就称为分布载荷。当分布载荷均匀分布时，q为常数， 称为均布载荷。其单位为N／m 。 (2) 集中载荷 分布在很短一 段梁上的横向力可以作为一个 作用在梁上一点的力，称为集 中力(集中载荷)，单位为N。 (3) 集中力偶 若横向荷载沿梁轴线的分布长度很短，且合 成为作用在梁纵向对称面内的一个力偶时，可将其视为集中 作用在轴线上一点的力偶，称为集中力偶，单位为N·m。
取右半段脱离体
FQB 左 3 6.5 3.5kN M B左 3 3 9kN m
FQB 右 3kN M B右 3 3 9kN m
FQC 左 3kN M C左 0
结论：集中外力偶将引起左右截面弯矩的突变，突变差 量等于集中外力偶的大小。集中外力（包括荷载和支座反 力）会引起左右截面剪力的突变，突变差量等于集中力的 大小。 在计算梁的内力之前，即在截开面之前，不允许将梁上 的荷载用其静力等效力系来代换，否则将会改变梁的受力 性质，但在截开面之后可以将所取截面一侧的荷载用与其 静力等效的力系来代替（如用集中力代替与其静力等效的 分布力系），然后再计算梁的内力。
例5-2 简支梁AB受集度为q的均布荷载作用，如图所示，列 出剪力方程和弯矩方程，并作该梁的剪力图和弯矩图。 解：（1）求支座反力 由于荷载及支座反力都是对称的，故 ql FAy FBy 2 （2）列剪力方程和弯矩方程
ql qx (0 x l ) 2 x ql qx2 M ( x ) RA x qx x (0 x l ) 2 2 2 FQ ( x ) RA qx
M M
C D
0 FDy qa 0 FCy qa
把 FCy 的反方向作用力 FCy 加在基本部分，由梁AC的 平衡方程
Fy 0 M
A
FAy 2qa
2
0 M eA 3qa
5.2
，
梁的剪力和弯曲
（5-1）
一、剪力和弯矩
，
利用截面法，取左段梁，列 出其平衡方程
F
3．支座的简化
(1)固定铰支座 这种支座限制梁在支座处沿水平 方向和铅垂方向的移动，但并不限制梁绕铰链中 心的转动。因此，固定铰支座对梁在支座处有两 个约束，相应地就有两个支座反力。例如凹形垫 板支座、桥梁下的固定支座和止推滚珠轴承等， 允许有微小的转动，但不允许移动均可简化为固 定铰支座。 (2)可动铰支座 这种支座只限制梁在支座处沿垂 直于支承面方向的移动。因此，它对梁在支座处仅 有一个约束，相应地也只有一个支座反力。例如凸 形垫板支座、桥梁下的辊轴支座和滚珠轴承等，均 可简化为可动铰支座。
AC段 FQ ( x1 ) FAy
（3）作梁的内力图
由于AC段、CB段的剪力等于常数 ，因此，剪力图在全梁上为一水 平直线。 由于AC段、CB段的M均为x的一次 函数，两段梁的 M 图均为斜直线， 求出各段梁两端截面的弯矩值， 连以直线，即为梁的弯矩图。
在集中力偶作用处，剪力图无 变化，弯矩图出现突变，突变值 等于集中力偶矩的大小。
(3)固定端支座 这种支座使梁的端截面既不能 移动，也不能转动。因此，对粱的端截面有三个 约束，相应地就有三个支座反力。例如汽轮机叶 片端部的支座、拦水大坝下端的支座和止推长轴 承等，均可简化为固定端支座。
三、静定梁的基本形式
1. 悬臂梁：一端为固定支座，另一端 自由的梁。 2. 简支梁：一端为固定铰支座， 另一端为可动铰支座的梁。 3. 外伸梁：一端或两端伸出支 座外的简支梁，称为外伸梁。
B
M
利用
F
y
0 验证，确保 FAy 、 FBy 求解正确性。
2．求各截面剪力、弯矩
取左半段脱离体
FQA 右 2.5kN M A右 0
FQD 左 2.5 4 1 1.5kN M D左 2.5 4 1 4 2 2kN m
FQD 右 2.5 4 1 1.5kN M D右 2.5 4 1 4 2 6 4kN m
例 5-4 如图所示简支梁受集中力偶 M 作用，试作出梁的剪力图 和弯矩图。 解：（1）求支座反力 取整体为研究对象，列平衡方程
（2）列剪力方程和弯矩方程
M M B 0, 得FAy l M M A 0, 得FBy l
M (0 x1 a ) l M M ( x1 ) FAy x1 x1 (0 x1 a ) l M CB段 FQ ( x2 ) FAy ( a x2 l ) l M M ( x2 ) FAy x2 M ( l x2 ) ( a x2 l ) l